高三数学复习 专题43 平面的基本性质与异面直线学案 理 苏科版

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1、学案43　平面的基本性质与异面直线【导学引领】（一）考点梳理1．平面的基本性质及推论名称图形文字语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内⇒l⊂α证明“点在面内”或“线在面内”公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A、B、C不共线⇒A、B、C∈平面α且α是唯一的用来确定一个平面或证明“点线共面”公理2的推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面若点A∉a，则A和a确定一个平面推论2两条相交直线确定一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b

2、⊂α推论3两条平行直线确定一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a一判断两个平面是否相交的依据，二判定点在直线上，即点是两平面的公共点，线是这两个平面的公共线，则这点在直线上2.空间两条直线(1)空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面.位置关系公共点的个数共面直线相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一个平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点(2)平行直线①

3、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(3)异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．3．异面直线所成的角(1)异面直线所成角的范围是θ∈.(2)求角方法：①利用平移的方法，得到平面角，再构造三角形解决；②向量法．【自学检测】1．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三

4、个平面．其中正确命题的个数是________．2．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β.下列命题中，其中正确命题的个数是________．①若α∥β，则m⊥l；②若α∥β，则m∥l；③若m∥l，则α∥β；④若m∥l，3．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．4．已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的________条件(填空“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”

5、中的一个)．5．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．【合作释疑】点共线、点共面、线共点的证明【训练1】如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【训练2】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(

6、2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？异面直线及其判定【训练1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【训练2】　如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．异面直线所成的角【训练1】如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC

7、的中点．(1)求异面直线AE和PB所成的角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．　【训练2】已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．【当堂达标】1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，给出下列四个命题：①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3；②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面．其中正确命题的序号是____

8、____．2．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是________．(填写序号)3．.如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1