高三数学一轮复习 第8讲 空间向量的应用教案

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1、第八讲空间向量的应用一、考情分析在高考的立体几何试题中，平行或垂直的证明、空间角与空间距的求解是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是复习的难点．空间向量的引入有利于解决这些问题，为立体几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，很多较难的空间的证明或计算问题，就有了解决的通法，减少学生学习度量问题的困难．本讲主要帮助考生理解并领悟向量工具的威力，运用向量方法简捷地解决这些问题．二、知识归纳及例析（一）平行的证明（1）两条直线平行的证明思路：（分别是的方向向量）．（2）直线与平面平行的证明思

2、路：法1：（分别是的方向向量、法向量）；法2：（分别是的方向向量，是平面的一个基底）．（3）两个平面平行的证明思路：（分别是平面的法向量）．例1：（04年湖南卷）在底面是菱形的四棱锥中，，．（1）证明：平面．（2）在棱上是否存在一点，使平面？解析：（1）∵底面是菱形，∴，在中，，∴，同理，，故平面．（2）建立直角坐标系，如图，设点是棱上一点，，则：，，，令，解之得：，∴当点是棱的中点时，共面，又∵平面，∴当点是棱的中点时，平面．（二）垂直的证明（1）两条直线垂直的证明思路（分别是的方向向量）．（2）直线与平面垂直的证明思路法1：（分别是

3、的方向向量、法向量）；法2：（分别是的方向向量，是平面的一个基底）．（3）两个平面垂直的证明思路（分别是平面的法向量）．例2：（05年湖北卷）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点．（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使平面，并求出点到和的距离．解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设的夹角为，则：，∴．故AC与PB所成角的余弦值为．（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设，则：，∵平面，∴，即；从而点到和的距离分别为．例3：（05年浙江卷）如图，在三棱锥中，，点分别是的中点，底面．（1）当时，求直线与平面所成角的大小；

4、（2）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？解析：∵，，∴；建立如图所示的空间直角坐标系，设，则：，设，则：；（1）当时，，，可求得平面PBC的法向量，∴，设直线与平面所成角为，则：．故直线与平面所成角为．（2）的重心，∵，∴，又∵，∴，此时，，即；反之，当时，三棱锥为正三棱锥，∴在平面内的射影恰好为的重心．（三）求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有六种距离，这里着重研究点面之距的求法，异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（1）求点面距离设是平面的法向量，在内取一点，则到的距离为．（2）求异面直线的距离在上取

5、一点,在上取一点,设分别为异面直线的方向向量，设异面直线的公共的垂直向量为，则异面直线的距离为：（此方法移植于点面距离的求法）．例4：正方体的棱长为，求异面直线的距离．解析：建立直角坐标系，如图，设异面直线的公共的垂直向量为，则：，∵在上的投影长为：．∴异面直线的距离为．（四）求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角．（１）求异面直线所成的角设分别为异面直线的方向向量，异面直线成角的范围是，而向量的夹角的范围是，则：．例5：三棱柱中，平面平面，，，求异面直线所成的角．解析：本题宜于运用向量法解决．法1：设

6、，则：∵，∴，，∴，．故异面直线所成的角．法2：建立直角坐标系，如图所示，则：，∴，．故异面直线所成的角．（2）求线面角问题设是斜线的方向向量，是平面的法向量，则斜线与平面所成的角．例6：如图，正三棱柱中，，求直线与平面所成的角．解析：本题运用向量法有以下两种解法：法1：建立直角坐标系，如图所示，则即为所求；，∴．故直线与平面所成的角．法2：显然平面的法向量为，则：．故直线与平面所成的角．（3）求二面角问题法一：设，在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角．法二：设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面

7、角的平面角．例7：（05年江西卷）如图，在长方体中，，点在棱上移动．（1）证明：；（2）等于何值时，二面角的大小为．解析：建立直角坐标系，如图所示，（1）∵，∴．（2）设平面的法向量，则：，∴．∴，∴（不合，舍去），．故当时，二面角的大小为．例8：（05年北京卷）如图，在直四棱柱中，，，，垂足为.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求异面直线与所成角的大小．解析：（I）在直四棱柱中，∵底面，∴是在平面上的射影，∵，∴；（II）连结，∵，，∴平面；∴为二面角的平面角．在底面中，，，，∴；在中,，，故二面角的大小为．（III）如图，建

8、立空间直角坐标，坐标原点为，则：，∴，∴，∴故异面直线与所成角的大小为．三、课后反思．