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时间：2019-09-22
《安徽省太和中学高三数学一轮复习第7讲平面向量与空间向量的类比教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第七讲平面向量与空间向量的类比一、考情分析在学牛已初步掌握平面向量工具的基础上，可类比得到空问向量的性质及运用，并借助于空间向最这一重要工具解决立体几何中的一些较难的问题.本讲主要帮助考生理解并领悟向最T具的威力，为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难.二、知识归纳(1)、儿何法则：平行四边形法则平行六面体法则⑵、特幷向量：1、概念：共线向量I>共面向量2、定理:共线向量A共面向量定理(5)、推论：=点共线定理、=线共而定理Pe直线ABu>OP=xOA+yOB(x+y=l)oxOA+yOB+mOP=0(x+y+m=0)Pe平面ABCo0P=xO
2、A+yOB+zOC(x+y+z=l)oxOA+yOB+zOC+mOP=0(x+v+z+m=0)(6)、处标系平面二维直角坐标系A空间三维直角坐标系a=^x2+y2+z2Lp=xi--yj--zk/=(兀，y,z)y(8)、坐标形式的线性运算:a±b=(xl±x2,yl±y2)Ad=(2x,Ay)ci±b=(x]±x2,y}±y2,z}±z2)Aa=(Ax,Ay,Az)(9)、坐标形式的数最积:(>ai=xlx2+yy2ad=xlx2+y2+z,z2(10)、平行的充要条件:aUb(x2y2H0)aUb(x2y2z2工0)兀2)?2Z2(11)、垂直的充要条件
3、:aLbaLbo石兀2+y2+ziz2=o心丽1l=>=J(西一兀2尸+01—力)2=J(X
4、—兀2尸+O1—旳)2+(Z1Z2)2o西兀2+y』2=°(12)、两点间的距离:(13)、向量的夹角:cosb>cosb>Jx：十yfjxj十yj(14))、定比分点:设片(若、yj；鬥(％、)5、三.精典例析例K在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离Z比为B解析：立体儿何中相应地性质：(1)从二而角的棱出发的一个半平而内任意一点到二而角的两个而的的距离之比为定值.(2)从二而角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二血角的两个而的距离之比为定值.(3)在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离Z比为定值.(4)在空间，射线0D上任意一点P到射线Q4、OB、0C的距离Z比不变.(5)在空间，射线0D上任意一点P到平而AOB.BOC、COA的距离之比不变.例2：(03年天津卷改编)在平血•几何里，有勾股定理：“设A6、ABC的两边AB、AC互相垂宜，则:①AB2+AC2=BC2:②若AABC的两边A3、AC与斜边成角分别为(X、卩，则：cos26Z+cos2^=1.”拓展到空间，类比平而儿何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积为底面面积间的关系，riJ得到正确的结论：“设三棱锥A-BCD中，三个侧面ABC、ACD.ABD两两相互垂直，则：①；②若三棱锥A-BCD+,三个侧而与底面的成角分别为a、卩、/,贝0：—_—.”解析:过点A作A£丄3C于E,连结DE,则：3C丄DE,S；bcd=tBC?•DE?=t(AB?+AC?)(AE2+DA2)=-ab2z）a2+-ac2-da2+-b7、c2ae2444_o2*r»2.o2_十十»4仏0・2BCD:同理，易知：若三棱锥A-BCD中，三个侧面与底面的成角分别为Q、卩、则:cos26T4-COS2/?+cos2y=l•例3：(04年上海卷)如图，P是斜三棱柱ABC-^C,的侧棱BB.±的一点，PM丄交人勺于M,PN丄BB、交CC、于N・(1)证明：CC、丄MN；(2)平而儿何这的余弦定理拓展到空间，写出斜三棱柱ABC-A^C,的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角PM丄BB、PN1BB}(证明略)Z间的关系式，并加以证明.解析：（1）CC］丄MNuBB丄MNuBB丄平面MNPu222⑵S平血A8、G=S平面卑+S平面〃q-2S平面卑S平面〃©cosZMPN.例4:如下图，已知平行六面体ABCD-A.B.C.D.底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱4人长为b,Fl.4人与AB.AD的夹角都是岂.求：（1）的长；3（2）直线血与/C所成的角的余弦俏.解析：（1）9、Aq10、2=ACcACl=（AA^AC）（AA^AC）二网+而+丽）（込+而+码I・11、212、・13、214、・15、2■——*■■——*■=1^1+16、AB17、+18、AZ）19、+2A41MB+2A41AD4-2ABMP,・・•网2二戻，网「二阿2=/,v鬲，而>=<两，I5>=—,=-,3—•——-2龙1—•—20、—►2龙1
5、三.精典例析例K在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离Z比为B解析：立体儿何中相应地性质：(1)从二而角的棱出发的一个半平而内任意一点到二而角的两个而的的距离之比为定值.(2)从二而角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二血角的两个而的距离之比为定值.(3)在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离Z比为定值.(4)在空间，射线0D上任意一点P到射线Q4、OB、0C的距离Z比不变.(5)在空间，射线0D上任意一点P到平而AOB.BOC、COA的距离之比不变.例2：(03年天津卷改编)在平血•几何里，有勾股定理：“设A
6、ABC的两边AB、AC互相垂宜，则:①AB2+AC2=BC2:②若AABC的两边A3、AC与斜边成角分别为(X、卩，则：cos26Z+cos2^=1.”拓展到空间，类比平而儿何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积为底面面积间的关系，riJ得到正确的结论：“设三棱锥A-BCD中，三个侧面ABC、ACD.ABD两两相互垂直，则：①；②若三棱锥A-BCD+,三个侧而与底面的成角分别为a、卩、/,贝0：—_—.”解析:过点A作A£丄3C于E,连结DE,则：3C丄DE,S；bcd=tBC?•DE?=t(AB?+AC?)(AE2+DA2)=-ab2z）a2+-ac2-da2+-b
7、c2ae2444_o2*r»2.o2_十十»4仏0・2BCD:同理，易知：若三棱锥A-BCD中，三个侧面与底面的成角分别为Q、卩、则:cos26T4-COS2/?+cos2y=l•例3：(04年上海卷)如图，P是斜三棱柱ABC-^C,的侧棱BB.±的一点，PM丄交人勺于M,PN丄BB、交CC、于N・(1)证明：CC、丄MN；(2)平而儿何这的余弦定理拓展到空间，写出斜三棱柱ABC-A^C,的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角PM丄BB、PN1BB}(证明略)Z间的关系式，并加以证明.解析：（1）CC］丄MNuBB丄MNuBB丄平面MNPu222⑵S平血A
8、G=S平面卑+S平面〃q-2S平面卑S平面〃©cosZMPN.例4:如下图，已知平行六面体ABCD-A.B.C.D.底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱4人长为b,Fl.4人与AB.AD的夹角都是岂.求：（1）的长；3（2）直线血与/C所成的角的余弦俏.解析：（1）
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