高三数学第一轮复习 7.3等比数列学案（老师版）

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1、7.3等比数列一、学习目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．二、自主学习：【课前检测】1.（2010年海淀二模12）已知数列满足，（N），则的值为.答案：48。2．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（D）A.d>B.d<3C.≤d<3D.

2、同号时),如果有,必有一对(同号时).2）{an}为等比数列是an+12=an·an+2的充分但不必要条件.3）若证{an}不是等比数列，只需证ak2≠ak－1ak+1（k为常数，k∈N，且k≥2）.4．解题小技巧：三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：（是公比）。5.等比数列与函数1）等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中2）等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：6.待定系数法：等比数列，设7.等比数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等比数列定义通项公式．（）求和公式等比中项。推广：重要性质1若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则

3、am·an=ak·al，反之不成立.特别地，。另：即：首尾颠倒相乘，则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm.3成等比数列。4{an}是等比数列，则{a}、{}也是等比数列．5增减性为递增数列为递减数列为常数列；为摆动数列其它性质1等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。2若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2.3若项数为，则；．三、合作探究：题型1等比

4、数列的基本运算例1（1）已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．（2）设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求首项、公比及项数n．解：（1）∵{an}是等比数列，∴a1·an＝a2·an－1，∴，解得或若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64∴qn＝32q，由Sn＝，q＝2，于是n＝6若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2∴qn＝由Sn＝q＝，n＝6（2）若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴q≠1．∴两式相除得：qn

5、＝81，q＝1＋2a1又∵q>0，∴q>1，a1>0∴{an}是递增数列．∴an＝27＝a1qn－1＝解得a1＝1，q＝3，n＝4变式训练1已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝．答案：64或1解：由·或∴q2＝或q2＝2，∴a11＝a7q2，∴a11＝64或a11＝1小结与拓展：1）方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”。a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．2）在等比数列中，若公比q>0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．3）在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，使用公

6、式Sn＝；当q＝1时，使用公式Sn＝na1。若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．题型2等比数列的性质例2（1）在等比数列中，若，,则公比2（2）在等比数列中,若是方程的两根，则=____。5（3）若等比数列的前项和为，则常数的值等于（D）A．B．C．D．（4）已知等比数列中，，，则前9项之和等于（B）A．50B．70C．80D．90（5）设等比数列的前项和为，若，则=(B)A．2B．C．D．3（6）已知数列。（7）若数列成等比数列，则的值为___2____．题型3等比数列的判断与证明例3（2010年东城二模19）已知数列的前项和为，，，设．证明数列是等比数列；

7、证明：由于，①当时，．②①②得．所以．又，所以．因为，且，所以．所以．故数列是首项为，公比为的等比数列．变式训练2已知数列的前项和为，且，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；解：（1）∵，∴，，，（2）∵，∴，∴，又，∴数列自第项起是公比为的等比数列.∴小结与拓展：{an}为等比数列题型4等比数列的综合应用例4数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an－an－1（n≥2），若an+Sn=n.（1）设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式.证明：（1）∵a1=S