高三数学第一轮复习 7.3等比数列学案(老师版)

高三数学第一轮复习 7.3等比数列学案(老师版)

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1、7.3等比数列一、学习目标:熟练掌握等差(比)数列的基本公式和一些重要性质,并能灵活运用性质解决有关的问题,培养对知识的转化和应用能力.二、自主学习:【课前检测】1.(2010年海淀二模12)已知数列满足,(N),则的值为.答案:48。2.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是(D)A.d>B.d<3C.≤d<3D.

2、同号时),如果有,必有一对(同号时).2){an}为等比数列是an+12=an·an+2的充分但不必要条件.3)若证{an}不是等比数列,只需证ak2≠ak-1ak+1(k为常数,k∈N,且k≥2).4.解题小技巧:三个数成等比的设法:;四个数成等比的错误设法:(是公比)。5.等比数列与函数1)等比数列的通项公式类似于的指数函数,即:,其中2)等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数,即:6.待定系数法:等比数列,设7.等比数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等比数列定义通项公式.()求和公式等比中项。推广:重要性质1若m、n、l、k∈N*,且m+n=k+l,则

3、am·an=ak·al,反之不成立.特别地,。另:即:首尾颠倒相乘,则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等比数列,公比为qm.3成等比数列。4{an}是等比数列,则{a}、{}也是等比数列.5增减性为递增数列为递减数列为常数列;为摆动数列其它性质1等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。2若数列{an}是等比数列,则数列{λ1an}(λ1为常数)是公比为q的等比数列;若{bn}也是公比为q2的等比数列,则{λ1an·λ2bn}(λ1、λ2为常数)也是等比数列,公比为q·q2.3若项数为,则;.三、合作探究:题型1等比

4、数列的基本运算例1(1)已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.(2)设等比数列{an}的公比为q(q>0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求首项、公比及项数n.解:(1)∵{an}是等比数列,∴a1·an=a2·an-1,∴,解得或若a1=2,an=64,则2·qn-1=64∴qn=32q,由Sn=,q=2,于是n=6若a1=64,an=2,则64·qn-1=2∴qn=由Sn=q=,n=6(2)若q=1,则na1=40,2na1=3280矛盾,∴q≠1.∴两式相除得:qn

5、=81,q=1+2a1又∵q>0,∴q>1,a1>0∴{an}是递增数列.∴an=27=a1qn-1=解得a1=1,q=3,n=4变式训练1已知等比数列{an}中,a1·a9=64,a3+a7=20,则a11=.答案:64或1解:由·或∴q2=或q2=2,∴a11=a7q2,∴a11=64或a11=1小结与拓展:1)方程的思想:等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”。a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.2)在等比数列中,若公比q>0且q≠1时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项.3)在等比数列的求和公式中,当公比q≠1时,使用公

6、式Sn=;当q=1时,使用公式Sn=na1。若q的范围未确定时,应对q=1和q≠1讨论求和.题型2等比数列的性质例2(1)在等比数列中,若,,则公比2(2)在等比数列中,若是方程的两根,则=____。5(3)若等比数列的前项和为,则常数的值等于(D)A.B.C.D.(4)已知等比数列中,,,则前9项之和等于(B)A.50B.70C.80D.90(5)设等比数列的前项和为,若,则=(B)A.2B.C.D.3(6)已知数列。(7)若数列成等比数列,则的值为___2____.题型3等比数列的判断与证明例3(2010年东城二模19)已知数列的前项和为,,,设.证明数列是等比数列;

7、证明:由于,①当时,.②①②得.所以.又,所以.因为,且,所以.所以.故数列是首项为,公比为的等比数列.变式训练2已知数列的前项和为,且,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式;解:(1)∵,∴,,,(2)∵,∴,∴,又,∴数列自第项起是公比为的等比数列.∴小结与拓展:{an}为等比数列题型4等比数列的综合应用例4数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),若an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:数列{cn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.证明:(1)∵a1=S

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