《bessel函数介绍》word版

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1、贝塞尔函数（Besselfunctions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数y(x)：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示的。贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n阶贝塞尔函数。尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0点的不光滑性）。历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世

2、纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数[1][2]。现实背景和应用范围贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式α=n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式α=n+½），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势

3、场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：●在圆柱形波导中的电磁波传播问题；●圆柱体中的热传导问题；●圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FMsynthesis）或凯泽窗（Kaiserwindow）的定义中，都要用到贝塞尔函数。定义贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了表示这些解的不同形式。下面分别介绍这些不同类型的贝塞尔函数。第一类贝塞尔函数图20阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会

4、简称为“J函数”，敬请读者留意。）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x=0时有限。这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x=0点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x

5、)的曲线（α=0,1,2）。如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何

6、级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图30阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。x=0点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumannfunction），有时也记作Nα(x)。它和Jα(x)存在如下关系：若α为整数（此时上式是0/0型未定式）则取右端的极限值。从前面对Jα(x)的定义可以知道，若α不为整数时，定义Yα是多余的（因

7、为贝塞尔方程的两个线性无关解都已经用J函数表示出来了）。另一方面，若α为整数，Yα便可以和Jα构成贝塞尔方程的一个解系。与J函数类似，Y函数正负整数阶之间也存在如下关系：Jα(x)和Yα(x)均为沿负实半轴割开的复平面内关于x的全纯函数。当α为整数时，复平面内不存在贝塞尔函数的支点，所以J和Y均为x的整函数。若将x固定，则贝塞尔函数是α的整函数。图3所示为0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数Yα(x)的曲线（α=0,1,2）：汉开尔函数贝塞尔方程的另外一对重要的线性无关解称为汉开尔函数（Hankelfunctions）Hα(1)(x)和Hα(2)(x)，

8、分别定义为：其中i为虚数单位。以上的线性组合也成为第三类贝塞尔函数；它们描述了二维波动方程的内行柱面波解和外