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1、§6.2Bessel函数一、Bessel方程的解Bessel函数1.Bessel方程的级数解第一类Bessel函数2.第二类Bessel函数(Neumann函数)3.第三类Bessel函数(Hankel函数)4.常用Bessel函数的级数表示二、Bessel函数的基本性质1.与Bessel函数有关的微分公式和递推关系2.渐近性质3.Bessel函数的零点三、生成函数与积分表示1.Bessel函数的生成函数2.Bessel函数的积分表示四、与Bessel方程有关的本征问题1.方程的通解2.本征值和本征函数
2、3.本征函数的正交归一关系4.按本征函数的广义Fourier展开五、可化为Bessel方程的微分方程六、变型(或虚案量)的Bessel函数七、例题 一、Bessel方程的解Bessel函数1.Bessel方程的级数解第一类Bessel函数（1）Bessel方程的级数解阶Bessel方程 (6.2-1)为方便起见将上列方程变形为 x=0为其正则奇点。①设方程的解为(≠0)代入上列方程，②归并同次幂系数，得 ③使x的同次幂系数为零，有
3、 (6.2-3) (6.2-4)n≥2 (6.2-5)④因为≠0,从(6.2-3)得到指标方程解得它的两个根为,设,。⑤令，由(6.2-4)式得，由(6.2-5)式得到系数递推关系，n≥2 (6.2-6)所有的系数(n≥2)，当n为偶数时可由表示；当n奇数时，可由表示。因为=0，故所有的,k=0,1,2,…。而…因此，求得方程(6.1-1)式的一个解（2）第一类Bessel函数取，则(6.2-7)此式称为阶(第一类)Bessel贝塞尔函数。 返回
4、页首（3）*解的讨论1）非负整数，方程有两个Frobenius级数解。因为（非负整数），，。令，同理，可得方程的另一个线性无关的解(6.2-8)因为不是整数，x=0是支点。规定
5、argx
6、＜π，当时，=0，=∞。由于方程的另一奇点是x=∞，因此，级数的收敛范围是0≤
7、x
8、＜∞，级数的收敛范围是0＜
9、x
10、＜∞。方程(6.2-1)的通解为0＜
11、x
12、＜∞ (6.2-9)2）,即为半奇数，方程有两个Frobenius级数解。取，重复(1)的步骤，可以求得一个解为取，系数递推关系(6.2-5)式为，当n=2m+
13、1,则有,,因为，故。可以是任意常数（也可以为零）。这样，当n为奇数时，系数bn为零。当n为偶数时，若若总之，根据递推式，所有的bn均可由b0表示。因而，可以求得第二个Frobenius级数解 (6.2-10)3),即(非负整数时)，只有一个Frobenius级数解。这时， (6.2-11)可见与线性相关。 返回页首2.第二类Bessel函数(Neumann函数)当ν=m时，求出与Jm(x)线性无关的另一特解。 (1)利用Abel公式(5.1-22)式。 (
14、2)直接令第二个解形为(5.2-24)式代入方程求解。 (3)物理学家用另外的方法求第二个解。在(6.2-9)中，把任意常数、分别取为,可得方程(6.2-1)式的一个特解 (6.2-12)它称为阶第二类Bessel函数或阶Neumann函数。不难证明，Wronski行列式，c为任意常数无论是否为整数，与都线性无关。当(0,1,…)时，由于(6.2-11)式原因，使得成为不定式。把整数阶的Neumam函数定义为 (6.2-13)可以证明这个
15、极限存在，而且是方程(6.2-1)式的解。这样，无论是否整数，方程(6.2-1)式的通解都可表示成≥0 (6.2-14)3.第三类Bessel函数(Hankel函数)在实际应用中，还引入第三类Bessel函数(或称Hankel函数)，定义为 (6.2-15)利用Hankel函数，方程(6.2-1)式的通解又可表示为 (6.2-16)4.常用Bessel函数的级数表示数学物理中常遇到Bessel函数有、、及半奇数阶Bessel函数。其中、
16、、的显式分别为 （6.2-17) (6.2-18) （6.2-19)在[例5.1-3〕中我们已经得到阶Bessel函数的表示式.由(6.2-7)式，令，利用Γ函数性质，同样可以得到 （6.2-20)利用Neumann函数和Hankel函
