高三数学 7.6空间向量在立体几何中的应用复习导学案

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1、山东省高密市第三中学高三数学7.6空间向量在立体几何中的应用复习导学案一、知识梳理:１．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.２．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2

2、＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.3．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝

3、cos〈m1，m2〉

4、.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝

5、cos〈m，n〉

6、.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量

7、，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．二、课前自测：1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(　　)A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确2．已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(　　)A.B.C.D.３．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为_____________．４．若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量

8、n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.三、典例分析：题型一　证明平行问题例1　(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.　跟踪练习：如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.题型二　证明垂直问题例2　如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.变式训练2：如

9、图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型三、　求异面直线所成的角例３　长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.　　　　　　　　　　　　　变式训练３　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1

10、中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.　　　　　　　　　　　　　　题型四　求直线与平面所成的角例４　如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．变式训练　(2013·湖南)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)证明：AC⊥B1D；

11、(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型五　求两个平面的夹角例５　(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求平面A1CD与平面A1CE夹角的正弦值．变式训练　(2013·江西)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的