高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程互动课堂学案 新人教a版必修1

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1、3.1函数与方程互动课堂疏导引导３．１．１方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点．2.函数零点的意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点．３．函数零点存在的条件如果函数f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(x)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.4．函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：（1）代数法：求方程f(x)=0的解；

2、（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点．5.函数零点的意义函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点．●案例1函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是(　　)A.(1,2)　　　　　　　　　　B.(2,3)C.(,1)和（3,4）D.(e,+∞)【探究】从已知的区间（a,b），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)·f(b)<0.∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0，

3、∴在(1,2)内f(x)无零点，所以A不对.又f(3)=ln3->0，∴f(2)·f（3）<0.∴f(x)在(2,3)内有一个零点.【答案】B【溯源】这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间［a,b］的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间，则需取区间［a,b］使f(a)f(b)<0.●案例2二次函数y=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数是(　　)A.1B.2C.0D.无法确定【探究】∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a与f(0)异号,即或∴函数必有两个零点.【答案】B【溯源】判断二次

4、函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.6.二次函数的图象与性质（1）定义:函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数.它的定义域为R.（2）二次函数具有如下一些主要性质:y=ax2+bx+c(a≠0)=a(x+)2+=a(x-h)2+k.其中h=-,k=.函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k),抛物线的对称轴是直线x=h;当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=h处取得最小值k=f(h

5、);在区间(-∞,h］上是减函数,在［h,+∞)上是增函数.当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=h处取得最大值k=f(h);在区间(-∞,h］上是增函数,在［h,+∞)上是减函数.（3）二次函数的三种常用解析式：①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0),其中（h,k)为顶点坐标.　③标根式：f(x)=a(x-α)(x-β)(a≠0),其中α和β是方程f(x)=0的根.疑难疏引于二次方程的根的分布问题，画出图象后，根据二次函数相应特征列不等式（组），往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如下几种情况：根

6、的分布x1

7、x1.（3）计算f(x1).若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)·f(x1)<0，则取区间(a,x1)（此时零点x0∈(a,x1)）；若f(x1)·f(b)<0，则取区间(x1,b)（此时零点x0∈(x1,b)）.（4）判断是否达到精度ε,即若

8、a-b

9、<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤(2)～(4).3.借助于函数方程思想用二分法求方程的近似解的意义解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的