高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数应用教案 北师大版选修1-1

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1、导读复习总结：导数应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2.熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)，的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．知识网络高考导航导数的应用价值极高

2、，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.典型例题例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解∵Δy=变式训练1.求y=在x=x0处的导数.解例2.求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）解(1)∵∴y′（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二==（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x

3、+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=∴（4），∴变式训练2：求y=tanx的导数.解y′例3.已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=

4、x=2=4.∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=

5、=.∴切线方程为即∵点P（2，4）在切线上，∴4=即∴∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得

6、x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.答案2或例4.设函数(a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因为a,bZ，故（2）证明在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为．令x=1，得，切线与直线x=1交点为．令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．直线x=1与直线

7、y=x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1.①又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0.②∴f（x）=ax4+cx2+1.∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，

8、∴可得切点为（1，-1）.∴a+c+1=-1.③∵=(4ax3+2cx)

9、x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.④由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为小结归纳1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.