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《2019版高考数学一轮复习 第十二章 不等式选讲 课时达标70 不等式的证明》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第70讲不等式的证明[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查,主要考查综合法、比较法,还常用柯西不等式证明不等式或求最值.1.已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.证明(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.因为a,b都是正数,所以a+b>0.又因为a≠b,所以(a-b)2>0.于是(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b+ab2.2.已知a,b,c都是正数,求证:≥abc.证明因为b2+c2≥2bc,a2>0,所以a2(b
2、2+c2)≥2a2bc,①同理,b2(a2+c2)≥2ab2c,②c2(a2+b2)≥2abc2,③①②③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,从而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).由a,b,c都是正数,得a+b+c>0,因此≥abc.3.(2017·安徽联考)已知函数f(x)=
3、x
4、-
5、2x-1
6、,记f(x)>-1的解集为M.(1)求M;(2)已知a∈M,比较a2-a+1与的大小.解析(1)f(x)=
7、x
8、-
9、2x-1
10、=由f(x)>-1,得或或解得011、故M={x12、00,所以a2-a+1>,综上所述当0.4.(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,<.解析(1)f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,即-113、f(x)<2,即-14、-115、a+b16、<17、1+ab18、.5.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+b6+a5b=(a3+b3)2-19、2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.6.(2018·东北三校二模)已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:(1)++≤;(2)++≥.证明(1)∵由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)·[()2+()2+()2]=3,当且仅当==,即a=b=c=时等号成立,∴++≤.(2)∵由柯西不等式得[(3a+1)+(3b+1)+(3c+20、1)]·≥2=9,又a+b+c=1,∴6≥9,∴++≥.
11、故M={x
12、00,所以a2-a+1>,综上所述当0.4.(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,<.解析(1)f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,即-113、f(x)<2,即-14、-115、a+b16、<17、1+ab18、.5.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+b6+a5b=(a3+b3)2-19、2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.6.(2018·东北三校二模)已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:(1)++≤;(2)++≥.证明(1)∵由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)·[()2+()2+()2]=3,当且仅当==,即a=b=c=时等号成立,∴++≤.(2)∵由柯西不等式得[(3a+1)+(3b+1)+(3c+20、1)]·≥2=9,又a+b+c=1,∴6≥9,∴++≥.
13、f(x)<2,即-14、-115、a+b16、<17、1+ab18、.5.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+b6+a5b=(a3+b3)2-19、2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.6.(2018·东北三校二模)已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:(1)++≤;(2)++≥.证明(1)∵由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)·[()2+()2+()2]=3,当且仅当==,即a=b=c=时等号成立,∴++≤.(2)∵由柯西不等式得[(3a+1)+(3b+1)+(3c+20、1)]·≥2=9,又a+b+c=1,∴6≥9,∴++≥.
14、-115、a+b16、<17、1+ab18、.5.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+b6+a5b=(a3+b3)2-19、2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.6.(2018·东北三校二模)已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:(1)++≤;(2)++≥.证明(1)∵由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)·[()2+()2+()2]=3,当且仅当==,即a=b=c=时等号成立,∴++≤.(2)∵由柯西不等式得[(3a+1)+(3b+1)+(3c+20、1)]·≥2=9,又a+b+c=1,∴6≥9,∴++≥.
15、a+b
16、<
17、1+ab
18、.5.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+b6+a5b=(a3+b3)2-
19、2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.6.(2018·东北三校二模)已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:(1)++≤;(2)++≥.证明(1)∵由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)·[()2+()2+()2]=3,当且仅当==,即a=b=c=时等号成立,∴++≤.(2)∵由柯西不等式得[(3a+1)+(3b+1)+(3c+
20、1)]·≥2=9,又a+b+c=1,∴6≥9,∴++≥.
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