《积分基本公式》word版

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1、2.基本积分公式表　(1)∫0dx=C(2)=ln

2、x

3、+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cosxdx=sinx+C(7)∫sinxdx=-cosx+C(8)∫sec2xdx=tanx+C(9)∫csc2xdx=-cotx+C(10)∫secxtanxdx=secx+C(11)∫cscxcotxdx=-cscx+C (12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln

4、x

5、+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln

6、x

7、)'=1/x．事实上，对x>0，(ln

8、x

9、)'=1/x；若x<0，则

10、(ln

11、x

12、)'=(ln(-x))'=.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分． 下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6.复合函数的导数与微分　大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=j(x)分别在点y0=j(x0)与x0可导，则复合函数z=f[j(x)]在x0可导，且或(foj)'(x0)=f'(y0)×j'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量Dx，有中间变量y在y0=j(x0)处的改变量Dy及因变量z在z0=f(y0)处的改变量Dz，（注意Dy可能为

13、0）．现Dz=f¢(y0)D×y+v，Dy=¢j(x0)Dx+u，且令，则v=Day，（注意，当Dy=0时，v=Day仍成立）．y在x0可导又蕴含y在x0连续，即Dy=0．于是=f'(y0)×j'(x0)+0×j'(x0)=f'(y0)×j'(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1)略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2)计算复合函数的过程：x®¾y®¾z复合函数求导的过程：z®¾y®¾x ：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．解．令u=5x，则y=

14、sinu．于是y'==cosu×5=5cos5x．例2.3.16求y=lncosx的导数．解．令u=cosx，则y=lnu．于是y'=．例2.3.17求幂函数y=xm的导数，m为任意实数．解．因y=，令u=mlnx，则y=eu．y'==eu×m×m是正整数n时，即例2.3.2．(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x®¾y®¾z®¾u…v®¾w复合函数的求导：w®¾v…u®¾z®¾y®¾x：各导数相乘(4)在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．例2.3.18求的导数解．=．(5)链锁法则的微分

15、形式是：df(j(x))=f¢(j(x))dj(x)例2.3.19求函数y=的微分解．dy=dsin2x=×2sinxdsinx=×2sinxcosxdx=×sin2xdx．思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5.导数与微分的四则运算　设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1)(u±v)'=u'±v'，d(u±v)=du±dv．公式(2)(uv)'=u'v+uv'，d(uv)=vdu+udv．公式(3)(cu)'=cu'，d(c

16、u)=cdu．公式(4)，(v¹0)．点击此处看公式(1)－(4)的证明． 例2.3.11求y=tanx的导数解．(tanx)'===sec2x．同理可得(cotx)'=-csc2x．例2.3.12求y=secx的导数．解．(secx)'==secxtanx．同理可得(cscx)'=-cscxcotx．例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．解一．y'=(1+4x)¢(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2×2x-3×3x2)=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3

17、解二．因y=2x2+5x3-12x4，故y'=2×2x+5×3x2-12×4x3=4x+15x2-48x3．例2.3.14求函数y=(x+sinx)lnx的微分．解．dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx=lnx(dx+dsinx)+(x+sinx)dx=lnx×(dx+cosxdx)+dx=dx．2.导数的定义　从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果xÎX-x0，