高中数学 一绝对值不等式学案 新人教a版必修4

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1、学案76　不等式选讲绝对值不等式导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，(2)

8、a－b

9、≤

10、a－c

11、＋

12、c－b

13、.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

14、ax＋b

15、≤c；

16、ax＋b

17、≥c；

18、x－a

19、＋

20、x－b

21、≥c.自主梳理1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据

22、f(x)

23、＝去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：

24、f(x)

25、≤g(x)⇔－g(x)≤f(x

26、)≤g(x)；

27、f(x)

28、≥g(x)⇔f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)．(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号．3．形如

29、x－a

30、＋

31、x－b

32、≥c(a≠b)与

33、x－a

34、＋

35、x－b

36、≤c(a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义；(2)____________________；(3)构造分段函数，结合函数图象求解．4．(1)定理：如果a，b，c是实数，则

37、a－c

38、≤

39、a－b

40、＋

41、b－c

42、，当且仅当____________时，等号成立．(2)重要绝对值不等式

43、

44、a

45、－

46、b

47、

48、≤

49、

50、a±b

51、≤

52、a

53、＋

54、b

55、.使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即

56、a＋b

57、＝

58、a

59、＋

60、b

61、⇔ab≥0；

62、a－b

63、＝

64、a

65、＋

66、b

67、⇔ab≤0；

68、a

69、－

70、b

71、＝

72、a＋b

73、⇔b(a＋b)≤0；

74、a

75、－

76、b

77、＝

78、a－b

79、⇔b(a－b)≥0；注：

80、a

81、－

82、b

83、＝

84、a＋b

85、⇔

86、a

87、＝

88、a＋b

89、＋

90、b

91、⇔

92、(a＋b)－b

93、＝

94、a＋b

95、＋

96、b

97、⇔b(a＋b)≤0.同理可得

98、a

99、－

100、b

101、＝

102、a－b

103、⇔b(a－b)≥0.自我检测1．(2010·江西)不等式＞的解集是(　　)A．(0,2)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)2．(2011·

104、天津)已知集合A＝{x∈R

105、

106、x＋3

107、＋

108、x－4

109、≤9}，B＝{x∈R

110、x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.3．(2011·潍坊模拟)已知不等式

111、x＋2

112、＋

113、x－3

114、≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)A．a<5B．a≤5C．a>5D．a≥54．若不等式

115、x＋1

116、＋

117、x－2

118、

119、2x－1

120、<

121、x

122、＋1.探究点一　解绝对值不等式例1解下列不等式：(1)1<

123、x－2

124、≤3；(2)

125、2x＋5

126、>7＋x；(3)

127、x－1

128、＋

129、2x＋1

130、<2.变式迁

131、移1(2011·江苏)解不等式x＋

132、2x－1

133、<3.探究点二　绝对值不等式的恒成立问题例2　(2011·商丘模拟)已知不等式

134、x＋2

135、－

136、x＋3

137、>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.分别求出实数m的取值范围．变式迁移2　设函数f(x)＝

138、x－1

139、＋

140、x－2

141、，若f(x)>a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．探究点三　绝对值三角不等式定理的应用例3　“

142、x－A

143、<，且

144、y－A

145、<”是“

146、x－y

147、<ε”(x，y，A，ε∈R)的(　　)A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件变式迁

148、移3　(1)求函数y＝

149、x＋2

150、－

151、x－2

152、的最大值；(2)求函数y＝

153、x－3

154、＋

155、x＋2

156、的最小值．转化与化归思想的应用例　(10分)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，(1)若

157、a

158、≤1，求证：

159、f(x)

160、≤；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.多角度审题　第(1)问

161、f(x)

162、≤⇔－≤f(x)≤，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出

163、f(x)

164、≤；二是证明－≤f(x)≤亦可．第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值．由于x∈[－1,1]，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,

165、1]上．【答题模板】证明　(1)方法一　∵－1≤x≤1，∴

166、x

167、≤1.又∵

168、a

169、≤1，∴

170、f(x)

171、＝

172、a(x2－1)＋x

173、≤

174、a(x2－1)

175、＋

176、x

177、≤

178、x2－1

179、＋

180、x

181、＝1－

182、x

183、2＋

184、x

185、＝－2＋≤.[3分]∴若

186、a

187、≤1，则

188、f(x)

189、≤.[5分]方法二　设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1，∴当x＝±1，即x2－1＝0时，

190、f(x)

191、＝

192、g(a)

193、＝1≤；[1分]当－1

194、a

195、≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x

196、2＋x＋1＝－2＋；[3分]g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1