高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的通项公式与递推公式练习（含解析）新人教a版必修5

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1、2.1.2数列的通项公式与递推公式一、选择题：1．已知数列{an}，a1＝1，an＝2an－1－1(n>1，n∈N*)，则a99＝(　　)A．1B．99C．－1D．－99【答案】A【解析】由a1＝1，an＝2an－1－1，得a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，∴a99＝1.故选A.2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　)A．－B.C．－D.【答案】B【解析】由an＝(－1)n·2an－1及a1＝知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝.故选B.

2、3．函数y＝f(x)的图象在下列图中并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，则该函数的图象是(　　)ABCD【答案】A【解析】：an＋1＝f(an)>an，故f(x)满足f(x)>x，即f(x)的图象在y＝x的图象上方，故A项正确．4．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2017＝(　　)A．－2B．－C．－D．3【答案】A【解析】∵a1＝－2，an＋1＝，∴a2＝－，a3＝，a4＝3，a5＝－2.∴该数列是周期数列，周期T＝4.又2017＝504×4+1，∴a2017＝a1＝－2.5

3、．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝2(n≥2)，则数列的通项an＝(　　)A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2(n－1)【答案】C【解析】∵an－an－1＝2，∴(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝＝2(n－1)，∴an＝2n－1.故选C.二、填空题：6．已知数列{an}中，若a1＝1，a2＝2，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且an＋1an＋2≠1，则a1＋a2＋a3＝________.【答案】　6【解析】由a1a2a3＝a1＋a2＋a3,2a3＝3＋a3，得a3＝3.∴

4、a1＋a2＋a3＝1＋2＋3＝6.7．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a3＝1，则m所有可能的取值为________．【答案】4【解析】(1)若a1＝m为偶数，a2＝，①当为偶数时，a3＝，故＝1⇒m＝4；②当为奇数时，a3＝＋1，由＋1＝1得m＝0(舍去)．(2)若a1＝m为奇数，则a2＝3a1＋1＝3m＋1为偶数，故a3＝必为偶数，所以＝1可得m＝(舍去)．8．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，

5、设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．【答案】an＝【解析】设OAn＝x(n≥3)，OB1＝y，∠O＝θ，记S△OA1B1＝×1×ysinθ＝S，那么S△OA2B2＝×2×2ysinθ＝4S，S△OA3B3＝4S＋(4S－S)＝7S，…，S△OAnBn＝x·xysinθ＝(3n－2)S，∴＝＝，∴＝，∴x＝.即an＝(n≥3)．经验证知an＝(n∈N*)．三、解答题9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.(1)写出数列{an}的前5项；(2)猜想数列{an}的通项公式；(3)画出数列{an}的图

6、象．【答案】见解析【解析】(1)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，a5＝×＝.(2)猜想：an＝.(3)图象如下图所示：10．已知数列{an}中，a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)．求数列的通项an.【答案】见解析【解析】解法一：(累乘法)∵an＝n(an＋1－an)，即＝，∴＝，＝，＝，…，＝.以上各式两边分别相乘，得＝×××…×＝n.又a1＝1，∴an＝n.解法二：(逐商法)由＝知，＝，＝，＝，…，an＝a1····…··＝1××××…××＝n.11．(思考题)已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝.(a为常数)

7、(1)若对任意的x1≠－1，有xn＋2＝xn对任意的n∈N*都成立，求a的值；(2)当a＝1时，若x1>0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由；(3)当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定．当a＝2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题．(不必证明)【答案】　见解析【解析】(1)∵xn＋2＝＝＝＝xn，∴a2xn＝(a＋1)x＋xn.当n＝1时，由x1的任意性，得∴a＝－1.(2)数列{xn}是递减数列．∵x1>0，xn＋1＝，∴xn>0，x∈N*.又xn＋1－xn＝－xn＝－<0，n∈N*，故数列{xn

8、}是递减数列．(3)真命题：(ⅰ)数列{xn}满足xn＋1＝，若x1＝－，则{xn}是有穷数列．(ⅱ)数列{xn}满足xn