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1、§2.6二次函数决策指导高效精讲·知识备考●二次函数的解析式（1）一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；（2）顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).●求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或双根式中的一种来求.（1）已知三个点的坐标时，宜用一般式；（2）已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；（3）若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式求f(x)更方便.●二次函数
2、的图象与性质二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为（1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当（2）当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在-上递减；当(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当Δ=b2-4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，
3、M1M2
4、=
5、x1-x2
6、=●二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它们只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.二次函数在闭区间上的最值讨论：当a＞0时，f(x
7、)在区间［p,q］上的最大值为M，最小值为m,令●一元二次方程根的讨论一元二次方程的根常有以下几种可能，设实系数一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).(3)方程有一正根一负根ac＜0.［注意］（3）中没有Δ＞0，因为ac＜0Δ=b2-4ac＞0.（4）设f(x)=ax2+bx+c，二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的区间根问题，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系．设ｘ１、ｘ２是实系数二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ＞０）的两实根，则ｘ１、ｘ２的分布范围与二次方程系
8、数之间的关系，如下表所示．续表考点精练自主探究·基础备考1.若f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-3,1)上()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：∵f(x)为偶函数，∴m=0，即f(x)=-x2+3,∴f(x)在(-3,1)上先增后减.答案：C2.函数f(x)=4x2-mx+5在区间［-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()A.f(1)≥25B.f(1)=25C.f(1)≤25D.f(1)＞25解析：由题意，得对称轴方程x=≤-2，∴m≤-16.∴f(1)=9-m≥25
9、.答案：A3.设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为图中之一：则a的值为（）A.1B.-1C.D.解析：∵b＞0,∴不是前两个图形（前两个图形中b=0）.从后两个图形看-＞0,∴a＜0,故应是第3个图形.∵过原点，∴a2-1=0.结合a＜0,∴a=-1.答案：B4.关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则有()A.-1＜a＜2B.a＜-2或a＞1C.-2＜a＜1D.a＜-1或a＞2解析：令f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2),由题意应有f(1)＜0,解得-2＜a＜1.答案
10、：C5.函数f(x)=2x2-6x+1在区间［-1，1］上的最小值是________，最大值是_____________.答案：-39易错指津自我完善·误区备考易错点一“三个二次”关系不能相互转化致误自我诊断①不等式f(x)=ax2-x-c＞0的解集为{x
11、-2＜x＜1}，则函数y=f(-x)的图象为()解析：由“三个二次”之间的关系知-2，1是方程ax2-x-c=0的两根，∴f(-x)=-x2+x+2，令f(-x)=0,得x=-1或x=2，且f(-x)的图象是开口向下的抛物线.答案：D易错点二条件考虑不全导致解题失误自我诊
12、断②若二次方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负根，则实数m的取值范围是__________.解析：方法一：设二次方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负根为x1,x2，根据题意，由韦达定理可得故当时，原方程有两个负根．方法二：数形结合，考虑二次函数ｆ（ｘ）＝２ｘ２＋４ｍｘ＋３ｍ－１的图象．二次方程有两个负根就等价于答案：题型技法互动探究·方法备考题型一求二次函数的解析式【例1】已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1+x)=f(1-x)，直线g(x)=4(x-1)被f(x)的图象截得的弦长为4，求函数f(x)
13、的解析式.解析：设f(x)=a(x-1)2(a＞0).由韦达定理:由弦长公式得，规律方法：求二次函数解析式一般采用待定系数法.创新预测1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.解析：方法一：利用二次函数
