《实数的基本定理》word版

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1、《数学分析（1，2，3）》教案第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理确界原理2数列的单调有界定理3区间套定理4聚点定理致密性定理5数列柯西收敛准则6有限覆盖定理定理(确界原理)设为非空数集．若有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确界．定理单调有界数列必收敛.证明不妨设为有上界的递增数列．由确界原理，数列有上确界，记．下面证明就是的极限．事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得．又由的递增性，当时有．另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有．所以当时有，即．同理可证有下

2、界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理）若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，，即，（2）证由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有（3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有，（4）且（5）联合（3）、（5）即得（2）式。最后证明满足（2）的是唯一的。设数也满足3-8《数学分析（1，2，3）》教案则由（2）式有由区间套的条件（¡¡）得，故有由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论若是区间套所确定的点，则对任给的>0，存在N>0，使得当>N时有致密性定理定义2

3、　设S为数轴上的点集，为定点(它可以属于S，也可以不属S)．的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点．等价定义如下：定义2’对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点．定义2”若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点现证定义2’定义2”设为S(按定义2’)的聚点，则对任给的，存在．令，则存在；令，则存在，且显然；令，则存在，且互异。无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列，且由，易见。下面我们应用区间套定理来证明聚点定理．3-8《数学分析（1，2，3）》教案定理(魏尔斯特拉

4、斯(Weierstrass)聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．证因S为有界点集，故存在，使得，记现将等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为，则且再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足,即是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点．由区间套定理，存在唯一的一点，．于是由定理5的推论，对任给的，存在，当时有．从而内含有S中无穷多个点，按定义2

5、，为S的一个聚点．推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列．证设为有界数列．若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为。则存在的一个收敛子列(以为其极限).推论若是一个无界数列，则存在子列。证明取界为k,则存在着一个项之后，则有。（前面有限个项是有界的）。Cauchy收敛原理数列收敛当时，有。证充分性设数列满足柯西条件．先证明是有界的．为此，取则存在正整数N，当m=N+1及n>N时有3-8《

6、数学分析（1，2，3）》教案由此得=.令M=max则对一切正整数n均有于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列设=A．对任给的>0，存在K>0，当m,n,k>K时，同时有(由柯西条件)，因而当取m=n()时，得到这就证明了.(海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理)设H为闭区间的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖．将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为，则，且．再将等分为两个子区间，同样，其中

7、至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为，则，且．重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列，它满足　　　　　　，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖3-8《数学分析（1，2，3）》教案由区间套定理，存在唯一的一点，．由于H是，的一个开覆盖，故存在开区间，使．由定理5推论，当充分大时有　　　　　　　　这表明只须用H中的一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖．有界性定理若函数在闭区间上连续，则在上有界．证[

8、证法一](应用致密性定理)倘若在上无上界，则对任何正整数，存在，使得．依次取，则得到数列．由致密性定理，它含有收敛子列，记。由及数列极限的保不等式性，．利用在点连续，推得另一方面，由的选取方法又有与(1)式矛盾．所以在有上界．类似可证在有下界，从而在上有界.[证