实数系基本定理

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1、关于实数连续性的基本定理这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。(一)实数基本定理的出现关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析

2、上是完备的，直观来看就是没有“洞”的。有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。以上的定理表述如下：实数基本定理：对R的每一个分划A

3、B，都唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。（论证实数系的完备性和局部紧致性）确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集

4、必有上(下)确界存在。单调有界原理:若数列单调上升有上界，则必有极限。区间套定理:设｛｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即。有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。柯西收敛定理：在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：。这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等

5、价证明。上确界的数学定义：有界集合S，如果β满足以下条件　（1）对一切x∈S，有x≤β，即β是S的上界；　　（2）对任意a＜β，存在x∈S，使得x＞a，即β又是S的最小上界，　　则称β为集合S的上确界，记作β=supS（同理可知下确界的定义）（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列单调上升有上界。令B是数列全体上界组成的集合，即B={b

6、},而A=R﹨B，则A

7、B是实数的一个分划。事实上，由单调上升，故-1A，即A不空，由A=R﹨B，知A、B不漏。又对任给aA

8、，bB，则存在，使ab，即A、B不乱。故A

9、B是实数的一个分划。根据实数基本定理，。下证=r。事实上，对。，于是，

10、-r

11、，=r。若数列单调下降有下界，令=-，则{}单调上升有上界，从而有极限，设极限为r，则=（-）=-r。定理证完。2.实数基本定理确界定理证明：设X是有上界的非空实数集，记B为X的全体上界组成的集合。A=R﹨B，则A

12、B构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏显然。而由a不是X的上界，知有X，使得a，而由知b，故ab。由实数基本定理，A

13、B是实数的一个分划，。下证r=supX。首先证明r是X的上界。用反

14、证法。如果不然，则有X，使得r，这时有a=a=A，且有ar，这是不可能的。因此r是X的上界，而由于，r是X的最小上界。同理可证下确界的情形。定理证完。定理作为工具运用的特点1．确界定理：构造数集，使其具有某种性质，并将这种性质传递到数集的确界，使确界之后的数不可能具备该性质。2．区间套定理：从构造过程中，使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间，再从第二个区间推到第三个区间……。如此继续下去，直到将这个性质聚到区间套所共有的点的任意附近。3．紧致性定理：从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收

15、敛。在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由紧致性定理得出子列，也即紧致性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。4．有限覆盖定理：在分析问题过程中，往往可以从局部性质推向整体性质，特别是将有限覆盖与反证法相结合，往往可以推出矛盾。5．柯西收敛定理：完全从数列本身出发，由于它给出的是极限存在的充分必要条件，不需要先假定极限的存在，相比极限的定义来说，这是一个很大的进步。