《向量代数》word版

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1、教案课时2授课人:唐默第五章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算一、内容要点⒈向量的定义向量是即有大小、又有方向的量.⑴向量的几何表示有向线段﹙与起点无关，称为自由向量﹚.⑵向量的坐标表示：，其中、、为向量在三个坐标轴上的投影.以为起点、为终点的向量.⑶向量的分解表示，其中，，⒉向量的模与方向余弦设则向量的模方向余弦为.其中、、分别为与轴、轴、轴正向的夹角﹙称为的方向角﹚，⒊向量的加法与数乘运算向量的加法有平行四边形法则和三角形法则.27运算的代数表示：设,则(1);(2)线性运算律为基本定理：设，则，使得；或设，则\.利用数乘,任何向量可表示为，

2、其中表示与同方向的单位向量.空间直角坐标系中，三个坐轴上正向的单位向量分别记为，则的分解表达式为:.二、数学要求和学习注意点⑴理解空间直角坐标系，理解﹙自由﹚向量的概念及其几何表示和坐标表示；⑵掌握向量的线性运算，了解两个向量平行的条件；⑶理解单位向量、方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行线性运算的方法。在学习这部分时，要注意掌握向量的几何表示与坐标表示之间的联系；会用向量及其运算﹙引进坐标、或不引进坐标、或两者结合﹚来解某些几何问题.三、释疑解难27⒈设、为非零向量，指出它们具有什么几何特征，才能使下列各式成立？⑴；⑵；⑶.答由向量加、

3、减法的平行四边形法则知，当，即时，⑴式成立，﹙图5–1﹙﹚﹚，当时，⑵式成立﹙图5–1﹙﹚﹚.由三角形法则知，一般有，当且仅当时，⑶式成立﹙图5–1﹙﹚﹚.图5-12、下列说法是否正确，为什么？⑴与、、三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为；⑵；⑶如图5–2所示，则力在向量上的分力为.答图5-227⑴与三坐标轴的正向夹角相同的向量，其方向角不是.因为任一向量的三个方向角、、应满足关系式，当时，有，即.故⑶的说法是错误的.又因，所以，还可看出，三个方向角均为的向量根本不存在.⑵不正确.不等号是用来比较两个实数的大小的，而向量是既有大小、又有方向的量，方向无所

4、谓大小之分，故在向量之间，没有“大于”、“小于”这样的次序关系，正如复数之间没有大小次序关系一样.如果是比较两个向量的模的大小，则当然是可以的，比如.⑶不正确.在上的分力是一个方向和平行的力﹙向量﹚，而仍是一个与同方向的力，在上分力的正确表示应是，其中表示分力的方向，是方向的单位向量.四、例题增补例1已知三点Ａ﹙﹚,Ｂ﹙﹚，Ｃ﹙﹚.求　⑴；⑵在轴上的投影及轴上的分向量；⑶三角形ＡＢＣ是什么三角形.解⑴;;27.⑵因为，所以在轴的投影为3，在轴上的分向量为.⑶因为所以,故三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形.例２　证明空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形。证如图

5、5–3，设空间四边形的四个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ；Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别为AB，BC，CD，DA四边的中点，因此　CPD由于NQ故MBA图5-3所以　，这就是说，四边形ＭＮＰＱ的一双对边平行且相等，所以ＭＮＰＱ是平行四边形.27五、习题解析1、已知点Ａ﹙﹚，Ｂ﹙﹚，（1）写出线段ＡＢ的中点坐标；（2）写出以线段AB为直径的球面方程.解　　⑴记线段ＡＢ中点的坐标为﹙﹚，则，⑵半径，由，得所求球面方程为.注　一般定比分点坐标的求法.设点Ｍ﹙﹚是线段的分点，且，,内分点；，外分点，，则分点Ｍ的坐标为当时，Ｍ为的中点.５、已知点Ａ﹙﹚，Ｂ﹙﹚，Ｃ﹙﹚，试求点Ｄ，使得以

6、Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ为顶点的四边形为平行四边形.解设平行四边形的4个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则由于，设Ｄ，于是所以即Ｄ﹙﹚.同理，若平行四边形的4个顶点分别别依次为Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ和Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ，则由与可得Ｄ﹙﹚与Ｄ﹙﹚.本题有且仅有这三解，而且三种情况下分别以27△ＡＢＣ的三条边为平行四边形的对角线，不妨画图试验证之.10、设，试用单位向量表示向量.解用消元法解由题设等式组成的方程组，易得,而，于是得，，.27第二节向量的乘法运算一、内容要点⒈数量积﹙点积、内积﹚定义性质夹角ｂ在ａ上的投影。⒉向量的向量积﹙叉积，外积﹚定义：，其中是同时垂直于是同时垂直于ａ，ｂ

7、的单位向量，并且ａ，ｂ，符合右手法则。坐标表达式设，则性质27几何意义：⑴等于以ａ，ｂ为边的平行四边形面积；⑵⒊混合积定义。坐标表达式，设，性质⑴⑵ａ、ｂ、ｃ共面　或存在一组不全为0的数，使得。　　几何意义等于以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体的体积。二、数学要求和学习注意点⑴掌握向量的数量积、向量积、混合积运算以及两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件。⑵掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，了解向量的向量积、混合积的几何意义。学习本章节时，必须掌握向量的三种乘积的定义及其在直角坐标系中的计算公式，注意归纳三种乘积的主要应用，特别是这三种乘积的几何意义在

8、空间解析几何中有应用。三、释疑解难⒈下列命题是否成立