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1、§2—6导数应用举例我们知道，函数的导数的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。在具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。一、导数在物理上的应用举例（一）导数的力学意义设物体作变速运动的方程为，则物体运动的速度是位移对时间的变化率，即位移对时间的一阶导数；此时，若速度仍是时间的函数，我们可以求速度对时间的导数，用表示，就是在力学中，称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度是位移对时间的二阶导数。例1某物体的运动方程为，求秒时的速度和加速度。解：根据导数
2、的力学意义，得（二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量是，则通过该导体的电流是电量对时间的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数例2设通过某导体截面的电量（库仑），其中为常数，时间的单位为秒，求通过该截面的电流解：因为，所以（安培）。二、导数在经济工作中的应用举例（一）边际的概念经济学上把“某某”经济函数的导数，称为函数在处的“边际某某”，即称为函数的边际函数，称为函数在点处的边际函数值。它反映了函数在点处的变化速度。一般地，“某某”经济函数，则“边际某某”就记作它表示经济函数在点处，当经济量改变一个单位时，近似地改变
3、个单位。设成本C是产量的函数，则边际成本设产量P是某种投入资源的函数，则边际产量设总收入R是产量的函数，则边际收入设总利润L是产量的函数，则边际利润例1某种产品的总成本C（万元）是产量（万件）的函数（称为总成本函数）（万元），试问当生产水平为（万件）时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？解：当生产水平为（万件）时，总成本（万元），这时每个单位产品的平均成本为，而，所以生产水平（万件）时的边际成本为由于边际成本是生产水平为（万件）时成本的瞬时变化率，可以近似地看作在这个水平上再增加一个单位产品，总成本增加的数量，它低于平均
4、成本14，所以从降低单位成本的角度看，还应该继续提高产量。例2某公司总利润L（元）与每天产量（吨）的关系为试确定每天生产20吨、25吨和35吨时的边际利润，并予以经济解释。解：因为上述结果表明，当日产量为20吨时，再多生产1吨，总利润约增加50元；当日产量为25吨时，再多生产产品，则利润不再增加，且开始减少；当日产量为35吨时，再多生产1吨，则利润约减少100元。（一）弹性的概念例如，甲商品每单位价格5元，涨价1元；乙商品每单位价格200元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与其
5、原价相比就能获得问题的解答。甲商品涨价百分比为20%，乙商品涨价百分比为0.5%,显然甲商品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大.为此,我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.例1设函数,当从8增加到10时,相应的从64增加到100,即自变量的绝对改变量函数绝对改变量又即当增加到时,增加了25%,相应增加了56.25%,我们分别称为自变量与函数的相对改变量.如果在本例中,再引入下式则该式表示在(8,10)内,从到时,函数的平均相对变化率.因此我们有如下定义:定义设函数在处可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为从到两点间
6、的弹性.当时,的极限称为在处的弹性,记作由于也为的函数,故也称它为的弹性函数.反映了随着的变化,函数变化幅度的大小,也就是函数对自变量的变化反映的灵敏度,即表示在点处,当产生1%的改变时,函数近似地改变.例1求幂函数(为常数)的弹性函数.解:可见,幂函数的弹性恒为常数,等于幂指数,即在任意点处的弹性不变.设某产品的需求量为价格P的函数,通常当产品的价格上涨时,需求量就会减少,而当产品的价格下降时,需求量就会增加.根据函数弹性的定义可得,需求量Q对价格P的弹性需求量Q对价格P的弹性的经济意义是:当价格为P时,若价格上涨(或下降)1%
7、,需求量Q将减少(或增加).例2设某商品的需求函数为Q=60-3P,求P=10,P=15时,需求量Q对价格P的弹性,并解释其含义.解:因为所以当P=10时,当P=15时,这表明,当价格P=10时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)1%;当价格P=15时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)3%.练习2—61.下列说法是否正确?(1)一汽车在刹车后秒所行的距离(米),则刹车开始时的速度为,当秒时的加速度为.(2)生产某种产品个单位成本函数为则生产90个单位产品时,再多生产一个单位产品,成本将增加9个单位.(3)
8、设某种商品的总收益R是商品价格P和销售量Q乘积,如果销售量Q是价格P的函数,则当价格P=6元时,价格每上涨1%,总收益将随之增加0.67%.2.已知一物体的运动规律为(米),求秒时速度和加速度.3.某企业利润函数(单位:千元),为日产量(单位:吨)
