《导数与分类讨论》word版

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1、导数与分类讨论1.已知函数，．当时，讨论函数的单调性.2.已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值.3.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，.【解题思路】利用导数考察函数的单调性，注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函数的单调性【解析】(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；x∈(，+)时，＜0,故f(x)在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)

2、在（0，+）单调减少.所以等价于,即令,则+4＝.于是≤＝≤0.从而在（0，+）单调减少，故，故对任意x1,x2∈(0,+)，.　　4.设函数，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.【解题思路】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围.【解析】（I）由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数.综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II）由

3、（I）知，当时，在或处取得最小值.由假设知即解得1

4、时，无极大值.4分（Ⅱ）5分当，即时，在上是减函数；当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得7分综上，当时，在定义域上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值.10分而经整理得由得，所以12分7.设函数．（1）当时，求函数的极值；（2）求函数在区间上的最小值．8.已知（1）当时，讨论函数的单调增区间。（2）是否存在负实数，使，函数有最小值－3？9.已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，．……

5、…………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．…………3分（Ⅱ）．………………4分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．……5分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘故的单调减区间是，；单调增区间是．………7分③当时，与的情况如下：↗↘↗所以的单调增区间是，；单调减区间是…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，时不合题意．……10分当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，；时，．若在上存在最小值，必有，解得．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．………………12分当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必

6、有，解得，或．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．综上，的取值范围是．………………14分10.已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．【答案】解：函数的定义域为，．…………………………………………………1分（Ⅰ）当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为，即．………………………………………………………………………3分（Ⅱ）函数的定义域为．（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………4分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；………………5分由，即，得．………………………6分所以

7、函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．……………………………………7分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．………………………………………………………………8分（Ⅲ））因为存在一个使得，则，等价于.…………………………………………………9分令，等价于“当时，”.对求导，得.……………………………………………10分因为当时，，所以在上单调递增.……………12分所以，因此.……………