专题训练—函数与导数之分类讨论.doc

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1、.专题训练—函数与导数之分类讨论1．(2013·福建)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．2．若，函数，其中为自然对数的底数．(1)若，求函数的单调递增区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．3．已知f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a≠0，求函数f(x)的单调区间；(3)若不等式2xlnx≤f′(x)＋a2＋1恒成立，求实数a的取值范围．..4．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若a

2、＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．5．已知函数f(x)＝alnx－bx2.(1)当a＝2，b＝时，求函数f(x)在[，e]上的最大值；(2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．6．函数．(1)函数有极大值，求实数的值；(2)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．..7．已知函数R)．（1）若，求曲线在点处的的切线方程；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．8．已知函数，aR．（1）当时，求的单调区间；（2）是否存在实数，使得对任意的，不等式0≤≤a恒成立？若存在，求出

3、所有的值；若不存在，请说明理由．..函数与导数之分类讨论1．(2013·福建)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f

4、(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．2．若，函数，其中为自然对数的底数．(1)若，求函数的单调递增区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．..3．已知f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a≠0，求函数f(x)的单调区间；(3)

5、若不等式2xlnx≤f′(x)＋a2＋1恒成立，求实数a的取值范围．解　(1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴k＝f′(1)＝4，又f(1)＝3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，由f′(x)＝0得x＝－a或x＝.①当a>0时，由f′(x)<0，得－a0，得x<－a或x>，此时f(x)的单调递减区间为(－a，)，单调递增区间为(－∞，－a)和(，＋∞)．②当a<0时，由f′(x)<0，得

6、>0，得x<或x>－a，此时f(x)的单调递减区间为(，－a)，单调递增区间为(－∞，)和(－a，＋∞)．综上：当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－a，)，单调递增区间为(－∞，－a)和(，＋∞)．当a<0时，f(x)的单调递减区间为(，－a)，单调递增区间为(－∞，)和(－a，＋∞)．(3)依题意x∈(0，＋∞)，不等式2xlnx≤f′(x)＋a2＋1恒成立，等价于2xlnx≤3x2＋2ax＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a≥lnx－x－在(0，＋∞)上恒成立，设h(x)＝lnx－－，则h′(x)＝－＋＝－.令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－(舍)，当00

7、；当x>1时，h′(x)<0.当x变化时，h′(x)，h(x)变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)..h′(x)＋0－h(x)单调递增－2单调递减∴当x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝－2，∴a≥－2，∴a的取值范围是[－2，＋∞)．4．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．(1)证明　当a＝2时，f(x)＝x2－2lnx，当