高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理问题导学案 新人教a版选修2-3

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1、1.3.1　二项式定理问题导学一、二项式定理的直接应用活动与探究1求4的展开式．迁移与应用1．(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝__________．2．(2013安徽合肥模拟)求4的展开式．熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项、项的系数活动与探究21．若6展开式的常数项为60，则常数a的值为__________．2．在6的二项展开式中，x2的系数为(　　)A．－B．C．－D．迁移与应用1．(2012

2、天津高考，理5)在5的二项展开式中，x的系数为(　　)．A．10B．－10C．40D．－402．求二项式10的展开式中的常数项．求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．三、二项式定理的应用(整除问题)活动与探究3试判断7777－1能否被19整除．迁

3、移与应用1．9192除以100的余数是__________．2．证明：32n＋2－8n－9是64的倍数．用二项式定理解决an＋b整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r＜m)的形式，利用二项展开式求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(2)n＋1　(3)C2．Can－kbk预习交流　(1)提示：①项数：n＋1项；②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n；③通项公式Tr＋1＝Can－rbr指的是第r＋1项，不是第r项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部

4、分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为C＝3，而该项的系数为C·22＝12．(2)提示：B(3)提示：21　－84　－448x5课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．解法一：4＝C(3)40＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C(3)04＝81x2＋108x＋54＋＋．解法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋．迁移与应用　1．x5－1　解析：原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－

5、1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．2．解法一：4＝C()4－C()3·＋C()2·2－C3＋C4＝x2－2x＋－＋．解法二：4＝4＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋－＋．活动与探究2　1．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x的项即可．4　解析：由二项式定理可知令6－3r＝0，得r＝2，∴T3＝C(－)2＝60．∴15a＝60．∴a＝4．2．思路分析：利用二项展开式的通项公式求．C　解析：设含x2的项是二项展开式中第r＋1项，则Tr＋1＝C6－r·r＝C6－r(－2)rx3－r．令3－r＝2，得r＝1．∴x2的系数为C5(－2)＝－

6、．迁移与应用　1．D　解析：Tr＋1＝(2x2)5－r·r＝(－1)r25－rx10－3r，∴当10－3r＝1时，r＝3．∴(－1)325－3C＝－40．2．解：设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝C(x2)10－r·r＝C·r(r＝0,1，…，10)．令20－r＝0，得r＝8，∴T9＝C·8＝．∴第9项为常数项，其值为．活动与探究3　思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C·7676＋C·7675＋…＋C·76＋C－1＝76(7676＋C7675＋C7674＋…＋C)．由于76能被19整除，因此77

7、77－1能被19整除．迁移与应用　1．81　解析：∵9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋1，该式前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除．又由于C·90＋1＝8281＝8200＋81，∴9192被100除余81．2．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·82＋C·8＋1－