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《高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课堂导学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.1二项式定理课堂导学三点剖析一、二项展开式的通项【例1】已知（）n展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有有理项.解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，·,·（）2,且·=1+,所以n2-9n+8=0,所以n=8（n=1舍）.∴Tr+1=（）8-r（）r=（-1）r.（1）若Tr+1为常数项，当且仅当=0时，即3r=16.因为r∈N，这不可能，所以展开式中没有常数项.（2）若Tr+1为有理项，当且仅当=4为整数.因为0≤r≤8,r∈N，所以r为4的倍数，所以r=0、4、8.则有理项为T1=x4,T
2、5=x,T9=x-2.温馨提示对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练，是解决类似问题的关键.二、利用二项式定理求系数的和【例2】已知（+3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中系数最大的项.解：令x=1得各项系数的和为（1+3）n=4n，而各项的二项式系数的和为++…+=2n.由已知4n=2n+992,∴2n=32（2n=-31舍），∴n=5,设第r+1项系数最大，则即∴≤r≤.又r∈N,∴r=4.∴系数最大的项是第5项.T5=（）·（3x2）4=.温馨提示（1）赋值法是解决二项展开式有关系数（或二项式系数）“和”问题的一般方法.
3、（2）要注意系数和二项式系数的本质区别.三、二项式定理的综合应用【例3】（1）9192除以100的余数是几？（2）求证：32n+2-8n-9（n∈N*）能被64整除.（1）解析：∵9192=（90+1）92=·9092+·9091+…+·902+·90+1,由于前面各项均能被100整除，只有末尾两端不能被100整除，由于·90+1=8281=8200+81.∴被100除余81.（2）证明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9=（8n+1+8n+8n-1+…+·8+1）-8n-9=8n+1+·8n+·8n-1+…+·82,而上式
4、各项均为64的倍数，∴32n+2-8n-9（n∈N*）能被64整除.温馨提示用二项式定理证明整除问题时，首先须注意（a±b）n中，a、b中有一个必须是除数的倍数，其次，展开式的规律必须清楚余项是什么，必须写出余项，同理可处理系数的问题.各个击破类题演练1求（x+-1）5展开式中的常数项.解析：由于本题只是5次展开式，可以直接展开［（x+）-1］5,即［（x+）-1］5=（x+）5-5（x+）4+10（x+）3-10（x+）2+5（x+）-1.由x+的对称性，只有在（x+）的偶次幂中，其展开式才会出现常数项，且是各自的中间项，所以，其常数项为-5-10-1=
5、-51.变式提升1若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值是（）A.1B.-1C.0D.2解析：（2x+）4=（）4+（2x）1·（）3+（2x）2·（）2+·（2x）3·+（2x）4，∴a0=C04（）4=9，a1=·21·（）3=24,a2=·22·（）2=72,a3=·23·=32，a4=·24=16.∴（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=972-（56）2=9409-9408=1.答案：A类题演练2（1）若（2x+）3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则（a0+a2）2-（a1
6、+a3）2的值为（）A.-1B.1C.0D.2（2）（2x+）3的展开式中各项二项式系数之和为_____________.解析：（1）令x=1,则（2+）3=a0+a1+a2+a3,令x=-1,则（-2+3）3=a0-a1+a2-a3,相乘得（a0+a2）2-（a1+a3）2=［（a0+a2）+（a1+a3）］［（a0+a2）-（a1+a3）］=（2+）3（-2+）3=（-1）3=-1,选A.（2）各项二项式系数之和为+++=23=8.答案：（1）A（2）8变式提升2+2++…+29等于（）A.3×210B.310C.（39-1）D.（310-1）解析：观察
7、结构与二项展开式结构作比较，发现2（+2+22+…+29）=21·19+22·18+…+210=（2+1）10-1=310-1.所以原式=（310-1）,选D.答案：D类题演练3求证：对任何自然数n,33n-26n-1可被676整除.证明：当n=0时，原式=0,可被676整除；当n=1时，原式=0，也可被676整除.当n≥2时，原式=27n-26n-1=（26+1）n-26n-1=（26n+·26n-1+…+·262+·26+1）-26n-1=26n+·26n-1+…+·262.每一项都含262这个因数，故可被262=676整除，综上所述，对一切自然数n，3
8、3n-26n-1可被676整除.变式提升3（1）设（
