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1、第2章泛函的极值在讨论泛函的极值以前,我们先来回顾一下函数的极值问题。2.1函数的极值性质2.1.1函数的连续性任意一个多元函数,,如果,当(或者说)时,有那么,我们称在处是连续的,记为。2.1.2函数的可微性更进一步,如果存在,使得那么我们称在处是可微的,或者说存在(一阶)导数,记为或者记为其中为梯度算子(或者Hamilton算子,见附1)。同理,可以定义该函数的两阶导数及更高阶导数。这里也称为Jacobi矩阵。如果函数在某点足够光滑,那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开其中为高阶小量,分别为函数的一阶微分和两
2、阶微分。26换个角度来看,如果其中为的线性函数,而为的两次函数,那么为的一阶微分,为的两阶微分。2.1.3函数的极值对于足够小的,如果，总有,那么我们称在有极大值。如果，总有,那么我们称在有极小值。这里为的邻域。如果在某一点附近足够光滑,那么在有极值的必要条件为或者说更进一步,如果,那么在有极大(小)值的充分条件为或者说是其中表示是负定矩阵。2.2泛函的极值2.2.1函数的邻域定义在区间上的函数的一阶邻域定义为:对于,始终满足我们称同时满足上述两式的函数的集合是的一阶邻域。同样可以定义函数的高阶邻域。2.2.2泛函的极
3、值变分引理:如果函数,对于在上满足的、足够光滑的任意函数,如果总是成立那么在必有26证明:用反证法。假设有使得,不失一般性设。由,一定存在,使这样我们总可以构造下面一个连续函数其中可以证明这样显然与引理条件矛盾,所以对于任意的都有以上结果容易推广到二维或更高维的情形。如果泛函在的一阶邻域内都不大(小)于,那么我们称泛函在有极大(小)值。也就是说,（2.2.1）使取到极值的函数称为极值函数。下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。如果使取到极值,则对于的一阶邻域内的函数应有或者现在用变分引理导出泛函取极值的必要
4、条件。取由于,因此当足够小的时候,属于的邻域。当以及给定以后,应该是关于的函数26因为在处取极值,应该是的极值点。根据函数极值的必要条件这就意味着如果令那么有考虑到的任意性，根据变分引理有（2.2.2）这就是该泛函极值问题的Euler方程。如果只限定、而放松处的要求，则定义域（2.2.3）若是泛函在上的极值，限定则必是泛函在上的极值，根据（2.2.2）有(2.2.4)代入（2.2.3）并考虑的任意性可得(2.2.5)要使在处取极值,那么意味着必须同时满足（2.2.4）和（2.2.5）对于更一般的泛函我们同样可以得到下面
5、的泛函极值定理。定理2.1如果泛函在上达到极值，那么泛函在上的一阶变分满足证明：根据泛函极值的定义，如果泛函在上达到极大值,那么必定存在的一个领域,对于该领域内的任何一个函数,使得泛函的增量不变号,由前面的推导(1.4.6)26其中显然,当充分小时,的符号由部分确定。如果,我们总是可以调整的符号使得改变符号,这与假设矛盾。因此是泛函有极值的必要条件。尽管不是泛函有极值的充分条件，但往往仍有意义。对于仅仅满足的泛函，我们称在该点取驻值。2.2.3泛函的Euler方程由泛函所得到的微分方程（包括边界条件）称为泛函的Eule
6、r方程。例2.1的Euler方程为例2.2得到上式称为Sturm-Liouville方程。结合边界条件,构成第一边值问题的Sturm-Liouville问题。例2.3上述泛函可以写成其一阶变分为26根据格林公式有当边界上值给定时,，可以得到相应的Euler方程这是一个Laplace方程。如果只在部分边界上给定函数值，这里，则除上述的Laplace方程外还应满足例2.4其中及其法向导数在的边界上给定。泛函的一阶变分为由于根据格林公式,由于及其法向导数在的边界上给定,即，所以有从而当泛函取极值时,根据变分引理1得到也就是这
7、是一个双调和方程。26例2.5其中在一部分边界（）上给定：。泛函可以写成其一阶变分为当泛函取极值时,根据变分引理2得到对应的Euler方程为这是一个Poisson方程。2.3泛函的条件极值问题2.3.1函数的条件极值问题与Lagrange乘子假设求极值的函数为相应的约束条件为（2.3.1）首先,自变量的微分必须满足约束条件,也就是说这意味着（2.3.2）也就是说必须与每个约束函数的梯度正交。对于极值函数,如果在某点的梯度满足那么,沿着满足约束条件的方向有该点也就是条件极值点。反之,如果要求沿着满足约束条件的方向有26必
8、须有这样,就有（2.3.3）而（2.3.4）所以对于约束极值问题,我们可以通过引进拉格朗日乘子来构造一个新的函数，可以把原来的条件极值问题转化为新函数的无条件极值问题。2.3.2存在代数约束下的泛函极值泛函为（2.3.5）约束条件（2.3.6）注意∶上述约束是上的恒等式，所以引入的是Lagrange函数、而不是Lagrange乘子
