《泛函分析小论》word版

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1、泛函分析论文泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。。§1度量空间§1.1定义：若是一个非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于，有（1）当且仅当；（2）；（3），则称为上的度量，称为度量空间。【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式）其实度量空间是在实变函数

2、中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。§1.2度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间，设是一个非空集合，，当。2、序列空间，是度量空间3、有界函数全体，是度量空间4、连续函数，是度量空间5、空间，是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果是中点列，如果，使，则称点列是中的收敛点列，x是点列的极限。同样的类似于，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。§1.3.2稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令,那么称集M在集E中稠

3、密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。即：§1.3.3例子1、n维欧氏空间是可分空间；2、坐标为有理数的全体是的可数稠密子集；3、是不可分空间。§1.4连续映射§1.4.1定义：设§1.4.2证明映射连续性的方法1、定义法2、邻域法：对的每一个—邻域U,必有的某个—邻域V使,其中表示V在映射T作用下的像。3、极限观点（定理一）：1、定理二:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射Y中任意开集M的原像是X中的开集。2、定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。§1.4.3例题例1、设

4、X,Y,Z为三个度量空间，是X到Y中的连续映射，是Y到Z的连续映射，证明复合映射是X到Z的连续映射。证明：设G是Z中开集，因g是Y到Z的连续映射,是Y中开集，又因是X到Y中的连续映射，是X中的开集，即是X中的开集，即连续。【分析】此题就是利用定理二来证明的。§1.5柯西点列和完备度量空间§1.5.1定义：设是度量空间，是X中点列，如果对，正整数,使当时，必有，则称是X中的柯西点列，如果度量空间中每个点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。§1.5.2相关结论1、全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收

5、敛点列都是柯西点列3、柯西点列一定是有界点列4、定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）【注意】开子空间不完备。例：1、是完备度量空间；2、是完备度量空间；3、是完备的度量空间；4、实系数多项式全体，作为的子空间不是完备度量空间；§1.6度量空间的完备化定理1（度量空间的完备化定理）：设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若也是一万倍度量空间，且与的某个稠密空间等距同构，则与等距同构。（其中：若，称与等距同

6、构。）定理1可以通过图形象表达W稠密V稠密定理：设是度量空间，那么存在唯一的完备空间，使为的稠密子空间。§1.7压缩映射原理及其应用§1.7.1定义：设是度量空间，是到中的映射，如果，，，则称是压缩映射。§1.7.2定理1（压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。定理2（隐函数存在定理）设函数在带状域中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果常数和，满足，则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：§1.8线性空间§1.8.1定义：设是一非空集合，在中定义了元素的加法运算和实数（或

7、复数）与中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3），均有，满足这样性质的集合称为线性空间。例：1、按自身定义的加法和数乘成线性空间2、按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间按自身定义的加法和数乘成线性空间§2赋范线性空间§2.1赋范线性空间和巴拿赫空间§2.1.1定义：设是实（或复）的线性空间，如果对，都有确定的一个实数，记为与之对应，并且满足：，且等价于；（非负性）其中为任意实（复）数；，（三角不等式）则称为向量的范数，称按范数成为赋

8、范线性空间。注意：1、是的连续函数2、§2.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间X是赋范线性空间，且是柯西点列。2、要判断一个空间是否为巴拿赫空间，有三点：（1）是否为线性空间（2