高中数学 第二章 函数 2.1.2 函数的表示方法课堂探究 新人教b版必修1

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1、2.1.2函数的表示方法课堂探究探究一画函数图象图象的画法常见的有两种：描点法、变换作图法．1．描点法的一般步骤是：列表、描点、连线；列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．2．变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．3．作函数图象时应特别注意：顶点、端点、图象与x轴的交点等这些特殊点．4．作图时应首先看

2、清函数的定义域．【典型例题1】作出下列函数的图象：(1)y＝－x＋1，x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)；(3)y＝

3、1－x

4、；(4)y＝思路分析：作函数图象，首先明确函数的定义域，其次明确函数图象的形状，体会定义域对图象的控制作用，处理好端点．如，第(4)小题x＝0时的情况．作图时，如第(2)小题，先不受定义域限制作出完整的抛物线，然后再根据定义域截取．函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等．解：(1)定义域为Z，所以图象为离散的点．图象如图(1)所示．

5、(2)y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x＜3)，定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．图象如图(2)所示．(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号，再写成分断函数y＝图象如图(3)所示．(4)这个函数的图象由两部分组成．当0≤x≤1时，为抛物线y＝x2的一段；当－1≤x＜0时，为直线y＝x＋1的一段．图象如图(4)所示．探究二求函数解析式1．若已知函数类型求解析式，则可用待定系数法求解．若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2

6、＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数．2．若不清楚函数类型，可采用配凑法或换元法．【典型例题2】(1)已知f＝，求f(x)；(2)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)．思路分析：(1)利用“换元法”或“配凑法”；(2)利用待定系数法．解：(1)方法一：令＝t，则x＝，且t≠0，∴f(t)＝＝＝，∴f(x)＝(x≠0)．方法二：f＝＝，∴f(x)＝(x≠0)．(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)．f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax

7、＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.由题设知解得或∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.探究三分段函数及其应用求解分段函数问题三注意1．求f(f(a))的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止．2．已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．3．已知f(x)，解关于f(x)的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．【典型例题3】已知f(x)＝若f(x)＞2，求x的取值范围．思路分析：在x≥－2时，由x＋2＞2，解得x＞0后，需与x≥－2求交

8、集，得x＞0；当x＜－2时，由－x－2＞2，得x＜－4，与x＜－2求交集，得x＜－4.然后求x＞0与x＜－4的并集得最后结果．解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)＞2，得x＋2＞2，解得x＞0，故x＞0；当x＜－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)＞2，得－x－2＞2，解得x＜－4，故x＜－4.综上可得，x＞0或x＜－4.【典型例题4】已知函数f(x)＝(1)求f(－8)，f，f，f的值；(2)作出函数的简图；(3)求函数的值域．思路分析：给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式

9、．(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．(2)在不同的区间，依次画出函数图象．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．(1)因为－8∉[－1,2]，所以f(－8)无意义．当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，所以f＝－＝.当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，所以f＝2＝.当x∈[1,2]时，f(x)＝x，所以f＝.(2)根据题中函数的表达式，在平面直角坐标系中作出的函数图象如图所示．(3)由(2)中画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．探究四易错辨析　　易错点　缺乏检验意识而

10、致误【典型例题5】已知f(x)＝若f(a)＝，求a的值．错解：∵f(a)＝∴令

11、a－1

12、－2＝，得a＝或a＝－.再令＝，得a＝±2.综上可知满足f(a)＝的a的值为－，，±2.错因分析：没有对求得的a的值进行验证．正解：∵f(a)＝∴当

13、a

14、≤1时，令

15、a－1

16、－2＝，解得a＝或a＝－.又∵

17、a

18、≤1，∴a＝和a＝－均不符合题意，舍去；当

19、a

20、＞1时，令＝，