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《高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介达标训练 新人教a版选修4-4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一平面直角坐标系更上一层楼基础·巩固1已知点P的柱坐标为(,,5)，点B的球坐标为(,,)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为()A.P点(5,1,1)，B点()B.P点(1,1,5)，B点()C.P点()，B点(1,1,5)D.P点(1,1,5)，B点()思路解析：设P点的直角坐标为(x,y,z),x=·cos=·=1,y=·sin=1,z=5.设B点的直角坐标为(x,y,z),x=·sin·cos=·,y=·sin·sin=··=,z=·cos=·=.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(,,).答案：B2如图1-4-8，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐
2、标为A1(4,0,5),C1(6,,5)，则此长方体外接球的体积为________________.图1-4-8思路解析：由长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,,5),可知OA=4,OC=6,OO1=5,则对角线长为,那么球的体积为·π·()3=.答案：3我国首都北京的球坐标为(6370,50°,θ)，求北京所在的纬线的长度约为多少千米?（地球半径约6370km,cos40°=0.7660）思路解析：如图,可根据点A的球坐标找到纬度圈上的半径，从而可以求出纬线的长度来.解：首都北京的球坐标为(6370,50°,θ)，设为点A，则
3、OA
4、=6370，∠AOO′=50
5、°，∴
6、O′A
7、=
8、OA
9、·sin50°=
10、OA
11、·cos40°=6370×0.7660，所以纬度圈长为2×3.142×6370×0.7660=3.066×104km.4在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M是A1B1的中点.求出点M的空间直角坐标,柱坐标,球坐标来.思路解析：建立适当的坐标系，如图.求点M的空间直角坐标，需要找到(x,y,z)；求点M的柱坐标，需要找到(ρ,θ,z)；求点M的球坐标，需要找到(r,φ,θ).解：过点M作底面xCy的垂线MN，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴N点在直线AB上.由点N分别作x轴,y轴的
12、垂线EN,NF，根据已知可得△ABC是等腰直角三角形，∴EN=NF=，这样，点M的空间直角坐标为(,,2)；由于点M在平面xCy的射影为点N，CN的长度与∠ECN的大小就是点M的柱坐标的量，CN=，∠ECN=，这样，点M的柱坐标为(,,2)；CM=r=，在△CC1M中，tanφ=，这样点M的球坐标为(,arctan,).5如图1-4-9，两平行面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan,θA)、B(25,π-arctan,θB)，求出这两个截面间的距离.图1-4-9思路解析：根据已知可得球半径为25,这样就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO1中求出
13、OO1及OO2的长度来,可得两个截面间的距离为O1O2.解：由已知,OA=OB=5,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,在△AOO1中,tan∠AOO1==.∵OA=25,∴OO1=7.在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==.∵OB=25,∴OO2=20.故O1O2=OO1+OO2=7+20=27.6如图，在柱坐标系中，O(0,0,4),A(3,θa,4),B1(3,θb,0)，其中，θa-θb=60°，求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.图1-4-0思路分析：由点O,A,B1的柱坐标，可知圆柱的高为4，底面半径为3，∠A
14、OB=60°.解：作OB∥O1B1交上底圆周于点B，连结AB，∠AOB=60°，则△OAB为等边三角形.∵OB∥O1B1,∴BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角.又BB1垂直AB所在平面，∴BB1⊥AB.在Rt△ABB1中，tan∠AB1B=,∴∠AB1B=arctan.∴AB1==5.综合·应用7在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A(R,,)、B(R,,).飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？思路分析：根据A、B两地的球坐标找到地球的半径,纬度,经度,当
15、飞机走AB两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是过A,B两地的球面距离.解：如图所示,因为A(R,,),B(R,,),可知∠AOO1=∠O1OB=,∴∠O1AO=∠O1BO=.又∠EOC=,∠EOD=,∴∠COD=-=.∴∠COD=∠AO1B=.在Rt△OO1B中,∠O1BO=,OB=R,∴O1B=O1A=R.∵∠AO1B=,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=.∴经过A、B两地的球面距离为R.走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其距离为R.8结晶体
