高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法自主训练 新人教a版选修4-5

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1、第二讲证明不等式的基本方法自主广场我夯基我达标1.下列关系中对任意a1D.()>()思路解析:∵a-b>0.(-a)2>(-b)2>0,即a2>b2>0.∴<1.又lgb2-lga2=lg0且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P,Q的大小关系是（）A.P>QB.P

2、2+1,0<<1,∴loga>0.即P-Q>0,∴P>Q.当a>1时,a3+1>a2+1>0,>1,∴loga>0.即P-Q>0,∴P>Q.答案:A3.a,b都是正数,P=,Q=,则P,Q的大小关系是（）A.P>QB.P0,Q>0.∴P2-Q2=()2-()2=≤0.∴P2-Q2≤0.∴P≤Q.答案:D4.已知00,b>0,c>0,又a2-b2=()2-(1+x)2=-(1-x)2<0,所以a2

3、-b2<0,a0,所以c>b,所以c>b>a.答案:C5.已知a,b,c,d∈{正实数}且<,则（）A.<,a2>b2,故只需比较与b2的大小.因为b2>0,<0,∴

4、x-1)(2x3-x-1)=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2［(x+1)2+x2］≥0,即1+2x4-(x2+2x3)≥0.所以1+2x4≥x2+2x3.证法二:1+2x4-(x2+2x3)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1=x2(x-1)2+(x2-1)2≥0.即1+2x4-(x2+2x3)≥0.所以1+2x4≥x2+2x3.8.已知a>b>c>0,求证:a2ab2bc2c>ab+cba+cca+b.证明:由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0.作商=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=()a-b()a-c()b-c.由a

5、>b>c>0,得a-b>0,a-c>0,b-c>0,且>1,>1,>1.∴()a-b()a-c()b-c>1.∴a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.9.已知x>0,x≠1,m>n>0,比较:xm+与xn+的大小.解:xm+-(xn+)=xm-xn+-=xm-xn+=(xm-xn)(1-).当0n>0,知xm0.当x>1时,由m>n>0,知xm>xn且xm+n>1,则有1->0.所以(xm-xn)(1-)>0.综上所述:xm+>xn+.我综合我发展10.已知a∈R,b∈R,且a

6、≠b,在①a2+3ab>2b2;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1);④+>2.四个式子中恒成立的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个思路解析:①④举反例很容易排除,对②利用作差法a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因为(a-b)2>0,a2+ab+b2>0,而a+b的符号是不确定的,故差值符号不能确定,因此②不正确.对于③a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，故a2+b2≥2(a-b+1),故③正确.综合

7、以上分析,只有③正确.答案:D11.已知x=,y=a-b,其中a,b均为正数,t∈R,则下列结论成立的是（）A.当a≤b时,x≥yB.当a≤b时,x≤yC.x≥yD.x≤y.思路解析:x-y=-a+b-==(b2-a2+at-bt)=·(b-a),故当a≤b时,x≥y.答案:A12.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0