《平面向量数量积的坐标表示》教案（1）

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1、平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a和b的坐标表示a·b呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a＝(x1，y1)，b＝(x2

2、，y2)，∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y21.平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a·b＝x1x2＋y1y22.两向量垂直的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0［例1］已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定

3、其值.解：由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)有a·b＝＋1＋(－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2.记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝又∵0≤θ≤，∴θ＝评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)又(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)·a＝03(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0即25x＋2

4、4y＝0①又｜xa＋yb｜＝1｜xa＋yb｜2＝1(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1②由①②有24xy＋25y2＝1③将①变形代入③可得：y＝±再代入①得：x＝∴或［例3］在△ABC中，＝(1，1)，＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A＝90°，则·＝0，∴1×2＋1×k＝0，即k＝－2若B＝90°，则·＝0，又＝－＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1)即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0若C＝90°

5、，则·＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0无实根，所以不存在实数k使C＝90°综上所述，k＝－2或k＝0时，△ABC内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值是多少?解：设P(x，y)，则＝(x－a，y)，＝(－a，a)，由＝t可有：，解得∴＝(a－at，at)，又＝(a，0)，∴·＝a2－a2t∵a＞0，

6、可得－a2＜0，又0≤t≤1，∴当t＝0时，·＝a2－a2t，有最大值a2.［例5］已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？解法：(3a＋5b)·(ma－3b)＝3m｜a｜2－9a·b＋5ma·b－15｜b｜2＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝0∴m＝＝时，(3a＋5b)⊥(ma－3b).Ⅲ.课堂练习课本P82练习1～8.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两

7、个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.Ⅴ.课后作业课本P83习题6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为（）A.平行B.不平行不垂直C.a⊥bD.以上均不对2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3

8、a

9、2－4a·b为（）A.63B.83C.23D.573．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于（）A.－23B.C.－D.－4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值

10、范围为（）A.（，+∞）B.［，+∞）C.（－∞，）D.（－∞，］5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为（）A.－B.C.0D.16．已知向量c与向量a＝（，－1）和b＝（1，）的夹角相等，c的模为，则c＝.7．若a＝（3，4），b＝(1，2）且a·b＝10，则b在a上的投影为.8．设a＝（x1，y1)，b＝(x`