（浙江专版）2018年高考数学二轮专题复习 重难增分训练（三）数列的综合问题

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1、重难增分训练（三）数列的综合问题1．已知函数f(x)＝x＋sinx，项数为19的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则当k＝________时，f(ak)＝0.解析：因为函数f(x)＝x＋sinx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点，而等差数列{an}有19项，an∈，若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则必有f(a10)＝0，所以k＝10.答案：102.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC

2、的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.解析：法一(直接递推归纳)：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝.法二(求通项)：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2

3、×6＝.答案：3．已知数列{bn}的通项公式为bn＝3×n－1＋，Tn为{bn}的前n项和．若对任意n∈N*，不等式≥2n－7恒成立，则实数k的取值范围为________．解析：因为bn＝3×n－1＋，所以Tn＝3·＋＝＋＝6＋.因为不等式≥2n－7，化简得k≥对任意n∈N*恒成立．设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝.当n≥5时，cn＋1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤n<5时，cn＋1>cn，{cn}为单调递增数列，＝c4

4、案：4．(2018届高三·浙江名校联考)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝a＋an，[x]表示不超过x的最大整数，则(1)＝________；(2)＝________.解析：(1)由题意得a2＝a＋a1＝，所以＋＝＋＝，所以＝1.(2)因为an＋1＝a＋an，所以＝＝－，即＝－，所以＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－.而an＋1＝a＋an>an，所以数列{an}单调递增且各项均为正数，所以＋＋…＋＝－<＝2.又结合(1)可知＋＋…＋>1，所以＝1.答案：(1)1　(2)15．已知函数fn(x)＝a1x＋a2x2＋

5、a3x3＋…＋anxn，且fn(－1)＝(－1)n·n，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设函数g(n)＝cn＝g(2n＋4)，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)依题意，得fn(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(－1)n·n，当n≥2时，fn－1(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n－1·an－1＝(－1)n－1·(n－1)，两式相减，得(－1)nan＝(－1)n·n－(－1)n－1·(n－1)＝(－1)n·(2n－1)，即an＝2n－1.当n＝1时，f1(－

6、1)＝－a1＝－1，得a1＝1，符合上式，所以an＝2n－1.数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由g(n)＝得c1＝g(6)＝g(3)＝a3＝5，c2＝g(8)＝g(4)＝g(2)＝g(1)＝a1＝1，当n≥3时，cn＝g(2n＋4)＝g(2n－1＋2)＝g(2n－2＋1)＝a2n－2＋1＝2×(2n－2＋1)－1＝2n－1＋1，所以当n≥3时，Tn＝5＋1＋(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n－1＋1)＝6＋＋(n－2)＝2n＋n，当n＝2时，也符合上式．于是Tn＝6．(2017·昆明模拟)已知

7、数列{an}满足a1＝，an＋1＝.证明：(1)an＋10，所以an＋1－1与an－1同号，由a1＝，可知an－1<0，所以an<1.易得an＋1＝>0，则an＋1－an＝－an＝＝＝<0，所以an＋1

8、<＝1.7．已知曲线C：y2＝2x(y≥0)，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，An(xn，yn)，…是曲线C上的点，且满足0