（浙江专版）2018年高考数学二轮专题复习 重难增分训练（一）函数与导数的综合问题

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1、重难增分训练（一）函数与导数的综合问题1．已知m，n∈(2，e)，且－＜ln，则(　　)A．m＞n　　　　　　　B．m＜nC．m＞2＋D．m，n的大小关系不确定解析：选A　由不等式可得－＜lnm－lnn，即＋lnn＜＋lnm．设f(x)＝＋lnx(x∈(2，e))，则f′(x)＝－＋＝.因为x∈(2，e)，所以f′(x)＞0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)＜f(m)，所以n＜m.故选A.2．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)＜ex的解集为________．解析：因为f

2、(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)的图象关于x＝0对称，所以f(x)的图象关于x＝2对称．所以f(0)＝f(4)＝1.设g(x)＝(x∈R)，则g′(x)＝＝.又f′(x)＜f(x)，所以g′(x)＜0(x∈R)，所以函数g(x)在定义域上单调递减．因为f(x)＜ex⇔＜1，而g(0)＝＝1，所以f(x)＜ex⇔g(x)＜g(0)，所以x＞0.答案：(0，＋∞)3．(2017·广东汕头模拟)已知函数f(x)＝x＋xlnx，若m∈Z，且f(x)－m(x－1)>0对任意的x>1恒成立，则m的最大值为________．解析：因为f(x)＝x＋xlnx，且f(x)－m(x－1)>0对任意的x

3、>1恒成立，等价于m<在(1，＋∞)上恒成立，等价于m1)．令g(x)＝(x>1)，所以g′(x)＝.易知g′(x)＝0必有实根，设为x0(x0－2－lnx0＝0)，且g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，此时g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，因此m0，故3

4、xex

5、，方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为________．解析：f(x)＝

6、xex

7、＝当x≥0时，f′

8、(x)＝ex＋xex≥0恒成立，所以函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数；当x<0时，f′(x)＝－ex－xex＝－ex(x＋1)，由f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＝－ex(x＋1)>0，函数f(x)为增函数，当x∈(－1,0)时，f′(x)＝－ex·(x＋1)<0，函数f(x)为减函数，所以函数f(x)＝

9、xex

10、在(－∞，0)上的最大值为f(－1)＝－(－1)e－1＝，要使方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四个不同的实数根，令f(x)＝m，则方程m2＋tm＋1＝0应有两个不同的实根，且一个根在内，一个根在内，令g(m)＝m2＋tm＋1，因

11、为g(0)＝1>0，则只需g<0，即2＋＋1<0，解得t<－，所以使得方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四个不同的实数根的t的取值范围为.答案：5．已知函数f(x)＝x－alnx＋b，a，b为实数．(1)若曲线x＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋3，求a，b的值；(2)若

12、f′(x)

13、<对∈[2,3]恒成立，求a的取值范围．解：(1)由已知，得f′(x)＝1－，且由题设得f′(1)＝2，f(1)＝5，从而，得1－a＝2且1＋b＝5，解得a＝－1，b＝4.(2)根据题设得，命题等价于当x∈[2,3]时，<恒成立⇔

14、x－a

15、<恒成立⇔－

16、

17、(1，＋∞)上恒成立，∴a≤－＝2－.∵x∈(1，＋∞)，∴lnx∈(0，＋∞)，∴当－＝0时，函数t＝2－的最小值为－，∴a≤－.故实数a的取值范围为.(2)当a＝2时，f(x)＝＋2x，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得2ln2x＋lnx－1＝0，解得lnx＝或lnx＝－1(舍)，即x＝e.当1＜x＜e时，f′(x)＜0，当x＞e时，f′(x)＞0，∴f(x)的极小值为f＝＋2e＝4e.(3)将方程(2x－m)lnx＋x＝0两边同除以lnx