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1、两类曲线积分的探讨学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：职称：摘要：本文给出了第一型曲线积分和第二型曲线积分的定义,并分别讨论了第一型曲线积分和第二型曲线积分的有关性质.通过列举一些求解两类曲线积分的例子,重点讨论了两类曲线积分的有关计算.最后,又给出了两类曲线积分的联系.关键词：第一型曲线积分;第二型曲线积分;性质,计算,联系.TalkaboutthetwotypesofTheLineIntegralsAbstract:Thisarticleintroducesthedefinitionofthelineintegralso
2、fthefirsttypeandthesecondtype,thenatureofthetwolineintegralsarediscussed.Itfocusonthecalculationofthetwolineintegralsbysomeexamples.Finally,itgivestheconnectionofthetwotypesofthelineintegrals.Keywords:thelineintegralsofthefirsttype;thelineintegralsofthesecondtype;property;calcu
3、lation;connection.前言积分贯穿于整个大学数学的课程中,而这两类曲线积分是将以前定义在直线段上函数的积分延伸到了定义在平面或空间曲线段上的函数积分.给出两类曲线积分的不同定义,不同性质和求解方法则成为我们能准确掌握两类曲线积分的基础.因此,通过学习,现将两类曲线积分的相关知识总结如下,并希望通过此次总结,能够对两类曲线积分有一个更深入的了解,对相关知识掌握的更加牢固.1.第一型曲线积分1.1第一型曲线积分的定义设L为平面上可求长度的曲线段,为定义在L上的函数.对曲线L做分割T,它把分成n个可求长度的小线段的弧长记为,分割T11的细度为
4、,在上任取一点若有极限且J的值与分割T与点的取法无关,则称此极限为在L上的第一型曲线积分,记做.1.2第一型曲线积分的性质①若存在,为常数.则也存在,且=.②若曲线段由曲线首尾相接而成,且都存在,则也存在,且=.③与都存在,且在L上,则.④若存在,则也存在,且.⑤若存在,L的弧长为n,则存在常数c,使得=,这里.1.3第一型曲线积分的计算1.3.1转化为定积分法定理1设有光滑曲线11函数为定义在L上的连续函数,则⑴证由弧长公式知道,L上由到的弧长.由的连续性与积分中值定理,有.所以=,这里,.设,则有=+.⑵令,则当时,必有.现在证明.因为复合函数关
5、于t连续,所以在闭区间上有界,即存在常数M,使得对一切都有.再由在上连续,所以它在上一致连续,即对任给的,必存在,使当时有,从而11所以.再由积分定义,.因此当在⑵式两边取极限后,即得所要证的⑴式.例1设L是半圆周试计算第一型曲线积分.解==.1.3.2利用对称性求解定理2设曲线L关于点P(或直线L或平面Y)对称的曲线和组成,且设的对称点为,则例2设L是椭圆,其周长记为a,计算.解椭圆的方程可化为,代入积分中=.因为是x的奇函数,曲线L关于y轴对称,故由定理2可知且.11故=.1.4延伸若L为空间可求长曲线段,为定义在L上的函数,则可类似地定义在空间
6、曲线L上的第一型曲线积分,并记做.仿照定理1,对于空间曲线积分,当曲线L由参量方程表示时,其计算公式为:.例3计算,其中L为球面被平面所截得的圆周.解由对称性知,所以.2.第二型曲线积分2.1第二型曲线积分的定义设函数与定义在平面由向可求长度曲线弧上.对L的任一分割T,它把L分成n个小曲线段弧,其中.记各小曲线段弧的弧长为,分割T的细度.又设T的分点的坐标为,并记,.在每个小曲线段弧上任取一点,若极限11存在且与分割T与点的取法无关,则称次极限为函数,沿有向曲线L上的第二型曲线积分,记为或⑶上述积分⑶也可写作或为书写简洁起见,⑶式常写成或.若L为封闭
7、的有向线段,则记为⑷若记,则式可写成向量形式或.⑸于是,力沿有向曲线弧对质点所作的功为.注第二型曲线积分与曲线L的方向有关.对同一曲线,当方向由A到B改为由B到A时,每一小曲线段的方向都改变,从而所得的也随之改变符号,故有⑹而第一型曲线积分的被积表达式只是函数与弧长的乘积,它与曲线L的方向无关,这是两种类型曲线积分的一个重要区别.2.2第二型曲线积分的性质①若存在,则也存在,且其中为常数.11②若有向曲线L是由有向曲线首尾相接而成,且存在,则也存在,且.2.3第二型曲线积分的计算2.3.1化为定积分的方法定理3设平面曲线其中在上具有一阶连续导函数,且
8、点A与B的坐标分别为与.又设与为L上的连续函数,则沿L从A到B的第二型曲线积分.⑺例4计算,其中L分别为如下
