§2 两类曲线积分.doc

《§2 两类曲线积分.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2两类曲线积分(数学二、三不要求)【考试要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.4.会用曲线积分求一些几何量与物理量.221一、基本概念1.对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)(1)定义:，其中为坐标面内的一条光滑曲线，为将进行任意分割时各小弧段长度中的最大值，为各小弧段上任取的一点.221类似地可定义:.(2)性质(与重积分类似)①线性:(为常数).221②可加性:，其中.③中值定理:若在上连续，则至少存在一点，使得，其中为曲

2、线的长度.221④对称性:若关于轴对称，则其中为对应于的部分.若关于轴对称，则221其中为对应于的部分.若关于，具有轮换对称性(即，互换后，不变)，即关于直线对称，则.⑤积分与积分路径方向的无关性:若的两个端点为与，则221.注三元函数在空间曲线上对弧长的曲线积分有类似的结果.2.对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)(1)定义:其中为坐标面上的有向光滑曲线弧，221为将进行任意分割时各小弧段长度的最大值，为各有向小弧段上任取的一点.(2)性质(与对弧长的曲线积分类似，以下仅列出两条)①221其中.②其中为取反方向的曲线弧.注类似地可定义，并有类似的性质.二、重要结论1.对弧长的曲

3、线积分的计算方法——221化为定积分(1)在参数方程下，若，则.(2)在直角坐标系下，若，则221.若，则.(3)在极坐标系下，若，，由于，，所以221.注1将的参数方程代入被积表达式即可，为弧微分.注2定积分的下限应小于上限，即.注3对有类似的结果.2.对坐标的曲线积分的计算方法——化为定积分221(1)在参数方程下，若为起点的参数，为终点的参数，则(2)在直角坐标系下，若起点的横坐标为，终点的横坐标为，则221.特别地，若(为常数，)，则;若(为常数，)，则.注1将曲线的方程代入被积表达式即可.221注2定积分的下限是起点的参数，上限是终点的参数，积分下限不一定小于积分上限

4、.注3对有类似的结果.注4两类曲线积分的计算过程:(1)画出积分曲线的图形;(2)选取适当的坐标系，并写出曲线的参数方程;(3)将的方程代入被积表达式化为定积分并计算其值.2213.两类曲线积分之间的关系其中，是平面上有向曲线弧的切向量的方向余弦.类似地有221其中，是空间有向曲线弧的切向量的方向余弦.4.格林公式设闭区域由分段光滑的封闭曲线围成，函数与在上具有一阶连续的偏导数，则221，其中是的边界曲线取正向.注1使用格林公式前要注意验证条件，特别要注意的方向.注2若不是封闭曲线，则在使用格林公式时要添加适当的辅助线，一般是添加平行于坐标轴的直线，这样会使计算简单.注3若是由

5、曲线与221所围成的复连通区域，且在上，则，其中与互为反方向.注4格林公式的几何意义:，其中为由所围成闭区域的面积.5.平面上的曲线积分与路径无关的条件221设函数，在单连通区域上具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价:(1)在内与路径无关;(2)对任意的点，均有;(3)，其中为任一简单分段光滑闭曲线;(4)在内存在函数，使得，且221,此时称为二元变上限的函数或称为二元函数全微分的原函数，是内一个适当的点，利用在折线上的第二类曲线积分求得，也可以利用下面的不定积分方法求出.221设(将看作常数),令(将看作常数)，解出代入上式即得.6.曲线积分的应用(1)表示曲线弧的弧长.

6、(2)表示占有平面上曲线，线密度为的曲线形构件的质量.221(3)当时，表示以为准线，母线平行于轴的柱面的面积.(4)曲线形构件的质心坐标，.(5)曲线形构件的转动惯量，，.221(6)变力沿曲线所作的功，其中变力，为质点运动的曲线.注以上关于平面上的曲线积分的结论都可以推广到空间上的曲线积分.(7)环流量向量场221沿有向闭曲线的环流量为，其中为流体流动时经过的曲线.三、典型例题题型1计算对弧长的曲线积分例1计算，其中为从经至的折线.221解画出的图形,利用直角坐标计算.因为在上所以221例2计算，其中为内摆线(星形线).解画出的图形,利用直角坐标计算较复杂,将用参数方程表示

7、为,于是221注可利用对称性简化为计算其中为沿星形线位于第一象限部分的积分.例3计算，其中为圆周，直线及221轴在第一象限内所围成图形的边界曲线.解画出的图形,在直线与上选为参数,在上选为参数,利用可加性得221例4计算，其中是曲面与平面的交线.解取为参数,将表示为221由方程组确定的隐函数的求导法可得于是由于被积函数关于是偶函数,关于坐标面对称(即用代替时,被积函数与221的方程都不变),所以221例5计算，其中为.解曲线的极坐标方程为即因为积分曲线和被积函数均关于及轴,轴对称,所以221