傅里叶分解与合成

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1、周期信号的傅里叶分析任意一个周期函数都可展开为傅里叶级数，因此各种波形的周期信号都可分解为一系列不同频率的正弦波。通过实验电路实现周期信号的傅里叶分解与合成，对周期信号进行傅里叶分析，对于深刻理解周期函数的傅里叶展开具有重要意义。1周期函数的傅里叶展开周期为的函数可以展开为三角函数构成的傅里叶级数（1.1）周期为的方波函数（如图1.1所示）（1.2）可展开为傅里叶级数（1.3）th0-TTf(t)-h图1.1方波信号由此得出，方波信号的基波与各谐波同相位，基波与前三阶谐波频率比为1:3:5:7，振幅比为。2周期信号的傅里叶分解2.1实验原理用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波信

2、号进行频谱分解，在示波器上显示被分解的波形。实验电路如图2.1所示，其中、是可变的。取0.1H。图2.1RLC串联谐振电路当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率为（2.1）这个响应的频带宽度以值来表示（2.2）其中为取样电阻，为电感线圈的电阻及与电容箱相串联的等效损耗电阻之和。当值较大时，在附近的频带宽度较狭窄，所以实验中选择Q值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。调节可变电容，在频率谐振，则会从此周期性波形中选择出这个单元，它的值为：（2.3）这时电阻两端电压为（2.4）此式中，X为串联电路感抗和容抗之和，，为串联电路的总阻抗。在谐振状态时

3、，此时，阻抗，其中为方波电源的内阻；为取样电阻；为电感的损耗电阻；为标准电容的损耗电阻。（值常因较小忽略）通过傅里叶分解合成仪中的1KHz的方波来做傅里叶分解实验，其输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。2.2实验装置实验装置包括：傅里叶分解合成仪；十进式电容箱；0.1H标准电感；双踪示波器；2.3实验内容2.3.1谐振时电容值的测量测量RLC串联电路时对1KHz，3KHz，5KHz正弦波谐振时的电容值、、，并与理论值进行比较，结果如表2.1所示。方波频率，取样电阻，实验测得信号内阻，电感。表2.1谐振频率1000Hz3000Hz5000Hz实验值0.24980.02790.01

4、00理论值0.2530.02800.01012.3.2方波的分解RLC串联谐振电路连线图如下：将1KHz方波输入到RLC串联电路，然后调节电容值至、、附近，从示波器上观测谐振波，测量基波和n阶谐波的相对振幅。（1）1KHz方波输入信号，如图2.1所示：图2.1（2）谐振频率=1KHz，谐振时电容值，波形如图2.2所示，相对振幅，李萨如图形如图2.3所示。图2.2图2.3（3）谐振频率,谐振时电容值，波形如图2.4所示，相对振幅。李萨如图形如图2.5所示。图2.4图2.5（4）谐振频率，谐振时电容值，波形如图2.6所示，相对振幅。李萨如图形如图2.7所示。图2.6图2.72.3.3计

5、算并校正相对振幅（1）损耗电阻的测定图2.8损耗电阻测量电路用标准电容箱加正弦信号发生器用谐振法测量。接一个如图2.8所示的串联谐振电路。测量在谐振状态时，采用外接信号源分别为1KHz、3KHz、5KHz时，信号源输出电压和取样电阻两端的电压，根据可计算出的值。损耗电阻测量电路连线图如下：不同频率时电感的损耗电阻为：1KHz=3*0.5v=1.5v=r=23Ω,R=27Ω,≈0代入数据得：=5.8Ω3KHz=1.5*0.2v=0.3v=r=23Ω,R=27Ω,≈0代入数据得：=13Ω5KHz=0.8*0.2v=0.16v=r=23Ω,R=27Ω,≈0代入数据得：=27.625Ω（2

6、）相对振幅的校正采用分压原理校正。设为谐波校正后的振幅，为谐波未被校正时的振幅。为1KHz使用频率时的损耗电阻。为3KHz或者5KHz使用频率时的损耗电阻。则校正公式为：校正结果如下：基波1KHz，=’=1.700v谐波3KHz，=’*=0.500*=0.565v谐波5KHz，=’*=0.240*=0.334v经过校正后，=1700：565：343≈1：：,与理论值符合较好。3周期信号的傅里叶合成3.1实验原理利用傅里叶分解合成仪实现。把四组频率为1KHz，3KHz，5KHz，7KHz的同相位正弦波按振幅调节好输入到加法器，叠加后形成方波。3.2实验过程（1）用丽萨如图形反复调节各

7、组移相器使1KHz，3KHz，5KHz，7KHz正弦波同相位。调节方法是示波器轴输入1KHz正弦波，而轴输入傅里叶分解合成仪提供的1KHz，3KHz，5KHz，7KHz正弦波，在示波器上显示出如图3.1所示波形时，说明基波和各阶谐波初相位相同。同相位同相位同相位同相位输入1KHz3KHz5KHz7KHz图3.1方波相位调节图（2）调节1KHz，3KHz，5KHz，7KHz正弦波振幅比为。（3）将1KHz,3KHz,5KHz,7KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变