光学成像系统的频率特性

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1、第三章光学成像系统的频率特性习题[3.1]/一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过函数：式中，，为圆形衍射屏的半径。问：（1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？（2）给出此屏的焦距的表达式。（3）若用它做成像元件，有什么缺点？解：(1)此衍射屏的复振幅如附图3.1所示，也可把它表示为如下的直角坐标形式：式中，中括号内的第一项仅仅是使直接投射光的振幅衰减，其他两个指数项与透镜相位变换因子比较，形式相同。当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因子表明，该屏具有半径为的圆形孔径。(2)把衍射屏

2、复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子作比较，便得相应的焦距，即对于项，令，则有，相当于会聚透镜。对于项，令，则有，相当于发散透镜。对于这一项，平行光直接透过，仅振幅衰减，可视为。(3)由于该衍射屏具有三重焦距，当用作成像装置时，便可对同一物体形成三个像。例如对无穷远的点光源，将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像，而另一个像在无穷远（直接透射光）。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接收屏来接收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长成反比。若用白光作

3、光源，则在像面上可以看到严重的色散现象。附图3.1习题[3.1]图示[3.2]试由式（3.1.10）直接导出式（3.1.11）。解：令P(x,y）=1,将式（3.1.10）积分号内各指数因子展开，利用，消去后，有：令并应用公式：及缩放定理，有再令即得式（3.1.11）。[3.3]/用一束单位振幅的平面波垂直入射照明一个透镜。透镜直径为5cm，焦距为20cm，在透镜后面10cm的地方，以透镜轴为中心放着一个物体，其振幅透过率为：假定L=1cm,,大致画出焦平面上沿x轴的强度分布，标出各个衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。解：/由附图3.

4、2可知，物平面被照明光斑的直径为2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其附图3.2习题[3.3]图示最大线度（对角线方向）为，故物体可以被完全照明。后焦面上的复振幅分为：强度分布为：这里因，故未考虑3个函数间的重叠。代入题设数据，得：其中的单位取为cm。在轴上两个一级分量中心离原点距离为：；零级分量第一个零点的位置为；两个一级分量与中央亮斑的的宽度相同，都是而其幅值只为零级分量的。如附图3.3所示。附图3.3归一化强度分布[3.4]将面积为10mm10mm的透射物体置于一傅里叶变换透镜的前焦面上作频谱分析。用波长的单色平面波垂直照明，要求在频谱面上测得的强度在频率14

5、0线/mm以下能准确代表物体的功率谱。并要求频率为140线/mm与20线/mm在频谱面上的间隔为30mm,问该透镜的焦距和口径各为多少？解：取面积为的透射物体的对角线方向为轴。因要求在140线/mm以下的空间频率成分不受到有限孔径的渐晕效应的影响，故透镜的口径应满足条件：①按题意，要求：②综合式①、②求得：[3.5]/一菲涅耳波带片的复振幅透过率为：如附图3.4所示。证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜，并确定这些焦距的大小。附图3.4习题[3.5]图示解：/由函数的定义可知：①式中为整数。令，显然上式是的周期函数，周期为，故可展成傅里叶级数：其中，遂有：②上式表

6、示一个方波函数，最后求得复振幅透过率为：或以直角坐标表示成：③上式中的指数因子类似于透镜的位相变换因子，遂有：④换言之，可以把该衍射屏看作一个具有多重焦点的透镜，焦距由式④确定。当偶数时（零除外），，故当用单色平面光波垂直照明时，透射光中不包含为偶数的成分。对于为奇数的情况，透射光中包含有无穷多个球面波。当取负值时，为正，是会聚球面波，它可得到实焦点；当取正值时，为负，是发散球面波，它可得到虚焦点。[3.6]一物体的振幅透过率为一方波，如附图3.5所示，通过一光瞳为圆形的透镜成像。透镜的焦距为10cm，方波的基频是1000线/cm，物距为20cm，波长为cm。问在以

7、下两种情况下：（1）物体用相干光照明时；（2）物体用非相干光照明时；透镜的直径最小应为多少，才会使像平面上出现强度的任何变化？附图3.5习题[3.6]图示解：按题意，系统的截止频率应大于物函数的基频。遂得：(1)相干照明时，。由透镜定律算得。故由求得。(2)非相干照明时，故求得。[3.7]一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是边长为的正方形，若在光瞳中心嵌入一个边长为的正方形不透明屏，试画出的函数图像。解：由OTF的几何解释，有：式中为光瞳面积，为光瞳重叠面积。，光瞳重叠面积则应分5个区间来考察，参阅附图3.6。①②③④(见附图3.6(d))⑤这时，从而。综合上述5