函数的连续性(1)

《函数的连续性(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第三章§3函数的连续性（第一讲）一、函数连续性的定义变量的增量（从变到）可正可负设函数在点的某邻域内有定义（含点）。在点，自变量的增量为相应有函数的增量连续性：定义1若称在点连续定义2若称在点连续（满足3点，1º在有定义，2º存在，3º等于在区间上连续：在区间I上每点都连续如：在连续，在连续即有注：连续即左连续：；右连续：结论：在连续左、右连续（讨论分段函数在分界点的连续性）如：例1：解：，9∴当时，即时，在连续。间断点：的以下三种情况为在不连续1．无定义；如在；在2．不存在，（含和）3．存在，称为的间断点第一类间断点：都存在①可去间断点存在，但（或不存在）如及，在及②

2、跳跃间断点：如在对可去间断点，若定义，则在连续。如：有，若定义可使在连续第二类间断点：与至少有一个不存在（含）①无穷间断点（或）如，在是间断点9∴在是间断点②振荡间断点如：在是振荡间断点；在是振荡间断点，函数值在－1与1之间无限次振荡例2：设讨论在的连续性（∵时时）∴为跳跃间断点例3．讨论在点的连续性，（）解∴当时，即在连续当时，不连续例4．求的值，使在连续解：，，∴当时连续例5．设处处连续，求9解∴时，在连续，故在连续例6．设求a、b，使在连续解：即∵时，分母∴有即∴∴例7．设求a、b使在连续。解：∴有即时，在连续9（第二讲）二、初等函数的连续性1．基本初等函数在其定

3、义域内是连续的。如一切初等函数在其定义区间内均为连续的。如2．连续函数的运算：设在点连续，则（当时），均在点连续。3．利用连续性求极限即求函数值如：讨论分段函数的连续性时，段点处要用左、右连续，在各段内若为初等函数则为连续的。4．反函数的连续性：若在区间上单增（减）且连续，则反函数在上单增（减）且连续。如在单增，连续，则在单增连续在单减连续，则在[-1，1]单减且连续5．复合函数求极限定理1设若，而在点连续，则有9（注：相当于代换令当时，）例1：由复合（∵在连续）例2：由复合例3：证明当时证：令当时∴例4．设讨论的连续性解：∵时，∴∵∴是无穷间断点当时是初等函数，故连续

4、。9例5：利用连续性求极限（1）求解：原式（2）解：原式（3）例6．设讨论的连续性解：无穷间断点，跳跃间断点∴在上是连续的例7．设是连续函数，求常数，使得在上连续解：∵存在∴当即时，在连续，而当和时，为初等或连续函数，∴在连续三、闭区间上连续函数的性质9定理2（最值定理）设在连续，则存在使,为最小值和最大值。（即对任意有）如：在上有在上无在上无零点：若存在使，称是的零点，或方程的根。定理3（零点定理）设在上连续，，则至少存在一点，使得定理4（介值定理）设在上连续，，为介于与之间的任何数，则至少存在一点，使得证：设∵又由，知由零点定理，存在使得，即推论：必取得介于与之间的

5、任何值。（即对任意，至少存在使）例8.证明方程至少有一个小于3的正根证：设在[0，3]上连续∴存在，使即为方程根9例9.设在上连续，，证明存在使证：设，连续由零点定理存在使即9