多元函数微分学及其应用(1)

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1、第8章多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数．而在实际问题中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数．多元函数是一元函数的推广．它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元函数有许多类似之处，但是由于自变量个数的增加，它与一元函数又存在着某些区别，这些区别之处在学习中要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去．§1多元函数的极限与连续一、平面点集与维空间一元函数的定义域是实数

2、轴上的点集，而二元函数的定义域是坐标平面上的点集．因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念．1．平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个直角坐标系后，平面上的点与二元有序实数组之间就建立了一一对应．于是，我们常把二元有序实数组与平面上的点看作是等同的．这种建立了坐标系的平面称为坐标平面．二元有序实数组的全体，即就表示坐标平面．坐标平面上满足某种条件的点的集合，称为平面点集，记作满足条件．例如，平面上以原点为中心，为半径的圆内所有点的集合是．现在，我们引入平面中邻域的概念．设是平面上一点，是

3、一正数．与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为或，即．不包含点在内的邻域称为点的空心邻域，记为或，即115．在几何上，邻域就是平面上以点为中心，为半径的圆的内部的点的全体．下面利用邻域来描述点和点集之间的关系．任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系之一：（1）内点：若存在点的某个邻域，使得，则称点是点集的内点（见图8-1）．（2）外点：如果存在点的某个邻域，使得，则称点是点集的外点（见图8-2）．（3）边界点：如果在点的任何邻域内既含有属于的点，又含有不属于的点，则称点是点集的边界点（见图8-3）．的边界点的全体

4、称为的边界,记作．图8-1图8-2图8-3的内点必定属于；的外点必定不属于；的边界点可能属于，也可能不属于．点和点集还有另外一种关系，这就是下面定义的聚点．聚点：若点的任何空心邻域内总有中的点，则称为点集的聚点．聚点本身可能属于也可能不属于．显然，的内点一定是的聚点，的外点一定不是的聚点．例如，点集，满足的一切点是的内点；满足的一切点是的边界点，它们都属于；满足的点也是的边界点，但它们不属于；点集连同它的外圆边界上的点都是的聚点．根据点集的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集：如果点集的点都是的内点，则称为开集．1

5、15闭集：如果点集的所有聚点都属于，则称为闭集．例如，集合是开集；集合是闭集；而集合既非开集，也非闭集．此外，还约定全平面和空集既是开集又是闭集．连通集：若点集中任意两点都可以用完全含于的有限条直线段所组成的折线相连接，则称是连通集．区域（开区域）：连通的开集称为区域或开区域．闭区域：开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭区域．例如，是区域；是闭区域．有界集：对于点集，如果能包含在以原点为中心的某个圆内，则称是有界点集．否则称为无界点集．例如是有界闭区域，而是无界的开区域．2．维空间称元有序实数组的全体为维空间，记为．

6、中的每个元素称为维空间中的一个点，称为该点的第个坐标．设点，为中的两点，我们规定，两点间的距离为．显然，当时，上式就是解析几何中在直线、平面、空间中两点间的距离公式．有了两点间的距离规定之后，就可以把平面点集中的邻域的概念推广到中去．设，是一正数，那么中的点集就称为点的邻域．有了邻域之后，就可以把平面点集中的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、115区域等概念推广到维空间去．二、二元函数的概念1．二元函数的概念在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到一个变量依赖于多个变量的关系，下面先看几个例子．例1正圆锥体的体积和它

7、的高及底面半径之间有关系．当和在集合内取定一组数时，通过关系式，有唯一确定的值与之对应．例2一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间有关系，其中为常数．当、在集合内取定一组数时，通过关系式，有唯一确定的值与之对应．上面两个例子，虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定的条件下三个变量之间存在着一种依赖关系，这种关系给出了一个变量与另外两个变量之间的对应法则，依照这个法则，当两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定的值与之对应．由这些共性便可得到以下二元函数的定义．定义1设是平面上的一个点集，如果对于内任

8、意一点，变量按照某一对应法则总有唯一确定的值与之对应，则称是变量、的二元函数（或称是点的函数），记作或．其中点集称为函数的定义域，，称为自变量，也称为因变量，数集称为该函数的值域．是，的函数也可记为．115按照定义，在例1和例2中，是和的函数，是和的函数，它们的定义域由实际问题来确定．当二元函数仅用算式表示而未注明定