多元函数微分学及其应用

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1、第五章多元函数微分学及其应用导学：在上册已经学习了一元函数的微分学及其应用。用导数和微分可以研究函数的很多性质。一元函数描述的是两个变量之间的关系，现实中或者理论上很自然的需要研究多个自变量之间的关系，形成多元函数的概念，研究多元函数需要把一元函数的微分学的有关概念和方法推广到多元函数情形，这就是本章的主要任务。在学习中要充分注意到相关概念、理论和思想方法的平行特点，这使得理解本章内容比较容易，同时要注意到新产生的差异的地方。第一节n维Euclid空间中的点集的初步知识导学：一元函数的定义域和值域都是实直线上的区间，多元函数的

2、定义域和值域都是高维空间的点集，因此，需要先对n维空间的点集及其性质做些研究，这些概念还可以推广到一般的无穷维空间。问题1回忆n维线性空间、向量的运算、内积运算，定义n维空间的距离、范数。具体化为1、2、3维空间看看距离、范数的几何特征。问题2类比中点列的到极限、极限的性质、聚点原理、柯西收敛原理。特别注意：中点列收敛和实直线R中数列收敛的关系。问题3中的极限点、聚点、孤立点、内点；点的邻域；集合的导集、开集、闭集；集合的内部、外部、边界；集合的紧性、集合的凸性；有界集合、区域、有界闭区域。注意对比实直线上的开区间、闭区间和中

3、的开集合、有界闭区域的关系。问题4注意中开集合的三条性质、闭集合的三条性质。这三条性质可以推广成一般的抽象的拓扑空间上去。第二节多元函数的极限与连续性导学：多元函数的概念是一元函数概念的直接推广，多元函数极限、连续的概念也是一元函数极限、连续的概念的直接推广。注意二元函数等值线、三元函数等值面的意义及几何直观。注意二重极限、多重极限与一元函数极限思想的类同与不同之处。注意有界闭区域上多元连续函数的性质与一元函数有界闭区间上连续函数的性质的类同之处。问题1类比多元数量值函数的概念和一元函数概念的类同；二元函数定义域的几何图像；二

4、元函数的几何意义；等值线、等值面；问题2注意多元向量值函数的概念、记号。问题3注意二重极限、连续的概念与一元函数概念的相同与不同之处；特别注意例2.5，2.6的的思想方法；注意从二元到n元函数的极限概念的推广？问题4注意闭区间上一元连续函数到有界闭区域上多元连续函数的性质的直接推广。讨论题：1、回答P.21练习(A)习题2的问题.2、讨论P.22练习(A)习题11、12中的问题第三节多元数量值函数的导数与微分导学：多元函数导数与微分的思想与一元函数类似，方向导数、偏导数是一元函数导数概念的一种推广，也是一种变化率。全微分是微分

5、概念的直接推广。注意方向导数、偏导数、梯度的几何意义。注意函数的连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在连续、全微分存在性之间的关系。注意可微的必要条件与充分条件。注意多元函数导数与微分计算与一元函数导数与微分计算的关系。注意从方向导数到梯度概念的引入、梯度的意义。高阶偏导数与高阶全微分概念及计算是直接推广，注意混合偏导数相等的条件与反例。多元复合函数的高阶偏导数的计算，尤其是包含抽象函数关系的高阶偏导数的计算是偏导数计算的关键和难点。注意隐函数存在定理3.4的条件和结论及其几何意义。问题1方向导数、偏导数、梯度、全微分概念

6、是如何引入的？计算上和一元函数导数与微分有何联系？这些概念有何几何意义？问题2方向导数、偏导数、连续性、梯度、全微分的存在性条件是什么？他们的关系在理论和计算上有何重要意义？全微分在近似计算和误差估计上的应用与一元函数有何相似性？例3.4、3.6有何意义？实际应用例子例3.13有用了什么方法？问题3混合偏导数相等的结论是什么？不相等的反例3.15是如何推证的？如何从方向导数引入梯度？梯度在刻画函数变化上有何意义？问题4多元复合函数求偏导数及高阶偏导数的计算基本公式是什么？如何理解一阶微分的形式不变性？如何利用一阶微分的形式不变

7、性计算微分和导数？问题5由一个方程确定隐函数的存在定理的条件、结论是什么？条件和结论的几何意义是什么？讨论题：比较练习5.3(A)习题4、5、6，(B)3、5的结论。第四节多元函数的Taylor公式与极值问题导学：本节主要是把一元函数的Taylor公式推广到多元函数的Taylor公式。把一元函数极值推广成多元函数的无条件极值，进一步计算最大值与最小值，用偏导数计算最小二乘曲线拟合，最优化产出水平的经济学分析。计算条件极值的Lagrange乘数法是一般非线性规划的特例。问题1如何从一元函数Taylor公式自然的引入多元函数的一阶

8、Taylor公式？n阶Taylor公式？充分理解例4.1的意义：对一个复杂的未知其具体表达式的隐函数，可以用很简单的具体的二元多项式来表示。问题2如何从一元函数的极值推广到多元无约束极值？无约束极值存在的必要条件、充分条件是什么？问题3无约束极值计算的应用：最小二乘曲线拟合法