多元函数积分学ⅰ

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1、第十章多元函数积分学Ⅰ一元函数积分学中，我们已经建立了定积分理论，本章将把这一理论推广到多元函数，建立起多元函数积分学的理论，并把这一类统一地描述为黎曼（Riemann）积分.第一节二重积分一、二重积分的概念下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.1.曲顶柱体的体积设z=f（x，y）是定义在有界闭区域D上的非负（即f（x，y）≥0）连续函数，它在直角坐柱系中的图形是空间曲面S，怎样求以曲面S为顶，以闭区域D为底，其侧面是一柱面（它的准线是闭区域D的边界L，母线平行于z轴）的曲顶柱体的体积呢（图

2、10-1）？图10-1分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决它（图10-2）.图10-2（1）分割闭区域D为n个小闭区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.（2）在每个小闭区域上任取一点53（ξ1，η1），（ξ2，η2），…，（ξn，ηn），对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f（ξi，ηi）而底为Δσi的平顶柱体的体积来近似代替.（3）这n个平顶柱体的体积之和Vn=,

3、就是曲顶柱体体积的近似值.（4）用λ=maxd（Δσi）表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值）.当λ→0（可理解为Δσi收缩为一点）时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：V=.2.平面薄片的质量设薄片在xOy平面占有平面闭区域D，它在点（x，y）处的面密度是ρ=ρ（x，y）.设ρ（x，y）是连续的，求薄片的质量（图10-3）.图10-3先分割闭区域D为n个小闭区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，在每个小闭区域上任取一点（ξ1，η1），（ξ2，η2），…，（ξn，ηn）近

4、似地，以点（ξi，ηi）处的面密度ρ（ξi，ηi）代替小闭区域Δσi上各点处的面密度，得到第i块小薄片的质量的近似值ρ（ξi，ηi）Δσi，于是整个薄片质量的近似值是Mn=,用λ=maxd（Δσi）表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值，当D无限细分，即当λ→0时，Mn的极限就是薄片的质量M，即M=.以上两个具体问题，虽然背景不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.定义1设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z=f（x，y）在D上有界.将D分为n个小区域53Δσ1，Δσ2，…，Δσn

5、，同时用Δσi表示该小区域的面积，记Δσi的直径为d（Δσi），并令λ=d（Δσi）.在Δσi上任取一点（ξi，ηi），（i=1，2，…，n），作乘积f（ξi,ηi）Δσi，把这些乘积加起来，得和式Sn=.若λ→0时，Sn的极限存在(它不依赖于D的分法及点的取法)，则称这个极限值为函数z=f（x，y）在D上的二重积分，记作，即=，（10-1-1）其中D叫做积分区域，f（x，y）叫做被积函数，dσ叫做面积元素，f（x，y）dσ叫做被积表达式，x与y叫做积分变量，叫做积分和.在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线（y

6、=常数和x=常数）把区域D分割成小矩形，它的边长是Δx和Δy，从而Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d=dx·dy，二重积分也可记作=.有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数z=f（x，y）在区域D上的二重积分V=；薄片的质量M是面密度ρ=ρ（x，y）在区域D上的二重积分M=因为总可以把被积函数z=f（x，y）看作空间的一张曲面，所以当f（x，y）为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当f（x，y）为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲顶柱

7、体体积的负值.如果f（x，y）在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么f（x，y）在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.如果f（x，y）在区域D上的二重积分存在（即和式的极限（10-1-1）存在），则称f（x，y）在D上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.如果f（x，y）是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f（x，y）在D上可积.我们总假定z=f（x,y）在闭区域D上连续，所以f（x,y）在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说

8、明.53二、二重积分的性质设二元函数f（x，y），g（x，y）在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质，我们只证其中的几个，其余的请读者自己去证明.性质1常数因子可提到积分号外面，即：=k，其中k是常数.性质2函数的代数和的积分等于各函数的积分的代