多元函数积分学(7)

《多元函数积分学(7)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第八章多元函数积分学§1曲线积分曲面积分重积分I基本概念与主要结论一曲线积分1第一型曲线积分的定义背景：求空间某一曲线段物体的质量定义1设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数，对曲线作分割，它把分成个可求长的小曲线段（），的弧长记为，分割的细度，在上任取一点（）．若极限且的值与及点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作．第一型曲线积分具有与定积分完全类似的性质．2第一型曲线积分的计算定理1设有光滑曲线：，，函数为定义在上的连续函数，则．注1当曲线方程为，，则有注2当曲线为空间曲线：，，则有．3第二型曲线积分的定

2、义10背景：变力做功定义2设函数、定义在平面有向可求长度曲线：上，对的任一分割，它把分成个小曲线段：（），其中，，记各小曲线段的弧长为，分割的细度，又设的分点的坐标为，并记，（）．在每个小曲线段上任取一点，若极限存在且与分割及点的取法无关，则称此极限为函数，沿有向曲线上的第二型曲线积分，记为或．（1）若为封闭曲线，则记为．若记，，则（1）式可写为．注1同理可定义空间曲线上的第二型曲线积分；注2第二型曲线积分与曲线的方向有关；注3第二型曲线积分关于函数和积分区域的具有线性可加性．4第二型曲线积分计算定理2设有光滑曲线：，，且，的坐

3、标分别为与，又设、为上的连续函数，则沿从到的第二型曲线积分为．二曲面积分1第一型曲面积分的定义背景：求曲面块的重量定义3设是空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数．对曲面作出分割，它把分成个小曲面块（），以记小曲面块的面积，分割的细度，在上任取一点（），若极限10存在且与分割及（）的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲面积分，记作．特别地，当时，（面积）．2第一型曲面积分的计算定理3设有光滑曲面：，，为上的连续函数，则．定理4若光滑曲面由参数方程给出：：为上的连续函数，则，其中，，．这里还要求Jacobi行列式中至少有一个不等于

4、零。3第二型曲面积分的定义定义4设为定义在双侧曲面上的函数，在所指定的一侧作分割，它把分成个小曲面，分割的细度，以、、分别表示在、和坐标平面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定．如的法线正向与轴正向成锐角时，在平面投影区域的面积为正，反之为负．在各个小曲面上任取一点，若存在，且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数在曲面的指定的一侧上的第二型曲面积分，记作（1）10若以表示的另一侧，则．此外，（1）式可表为．4第二型曲面积分的计算计算定理5设是定义在光滑曲面：，，上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线与轴成锐角

5、），则有．定理6若光滑曲面由参数方程给出：：为上的连续函数，若在上各点它们的Jacobi行列式不同时为零，则分别有，，，其中正负号分别对应曲面的两个侧：当平面的正方向对应于曲面所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号。三重积分1二重积分的定义背景：曲顶柱体的体积定义5设为平面上可求面积的有界闭区域，为定义在上的函数，用任意曲线把分成个可求面积的小区域，以表示小区域的面积．这些小区域构成的一个分割，以表示的直径，为的细度，在每个上任取一点，作和式10称为在上属于分割的一个积分和，记为．若，且与及的选取无关，则称在上可积，称为在上的二

6、重积分，记为．注：二重积分具有与定积分完全类似的性质，且在可积情形下，可选取特殊分割，如平行于坐标轴的直线网分割，则，因此，通常情形下，二重积分常记为．2二重积分的计算定理7设在上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且．关于另一累次积分有相同的结论．特别地，当为上连续函数时，则有．定义6称平面点集为型区域；称平面点集为型区域．定理8设在型区域上连续，其中、在上连续，则．在型区域上有类似的结果．3二重积分的变量变换定理9设在有界闭区域上可积，变换：，，将平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域，函数

7、，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式，，则．10特别地，对于极坐标变换：，，因此有．4．三重积分的定义背景：空间几何体的质量定义6设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的常数。若，使得对于的任何分割，只要，属于分割的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作，或。三重积分和二重积分一样，可建立类似的可积准则和类似的积分性质，这里不再叙述。事实上，定积分，第一型曲线，第一型曲面积分和重积分都可化归为“分割，求和，取极限”，因此它们都是属于同一类型的积分，从而具有相同的积分可积准则和积

8、分性质。5三重积分的计算定理10若函数在长方体上的三重积分存在，且对任何，二重积分，存在，其中，则积分，也存在，且。对于一般区域上的三重积分的计算，总是化为累次积分来计算，这时要根据积分区域的形状和被积函数的形式，灵活地采取不同的积分次序，通常情况下化为三次积分