多元函数求极值(拉格朗日乘数法

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1、第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式，则称函数在点有极大值。如果都适合不等式，则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域

2、内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。例２函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在

3、该点的偏导数必然为零：证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式这表明一元函数在处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面成为平行于坐标面的平面。仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数在点的某邻域

4、内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：第一步解方程组求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，和。第三步定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。例1求函数的极值。解先解方程组求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。再求出二阶偏导

5、数在点(1,0)处，又，所以函数在处有极小值；在点(1,2)处，，所以(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，，所以(-3,0)不是极值；在点(-3,2)处，又所以函数在(-3,2)处有极大值(-3,2)=31。例2某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解设水箱的长为，宽为，则其高应为，此水箱所用材料的面积，即（，）可见材料面积是和的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点。令，解这方程组，得：，从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。

6、二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先构成辅助函数其中为某一常数求其对与的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立（1）由这方程组解出，及，则其中，就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数在附加条件，(2)下的极值，可以先构成辅助函数其中，均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的就是函数在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根

7、据问题本身的性质来判定。例3求表面积为而体积为最大的长方体的体积。解设长方体的三棱长为，则问题就是在条件（3）下，求函数的最大值。构成辅助函数求其对x、y、z的偏导数，并使之为零，得到（4）再与(10)联立求解。因、都不等于零，所以由(11)可得＝，＝．由以上两式解得将此代入式(10)，便得=这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最大，最大体积。小结：本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。

8、在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。