多元积分与线面积分(考研

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1、多元积分与线面积分1.设有半球体：，，内任意一点的密度，求：(1)此半球体的质量；(2)此半球体的重心.2.设具有二阶连续偏导数，试证明：其中C是D的边界，是C的外法向单位向量.3.计算.4.设为连续函数，，为：，求5.已知球面及柱面，求球面在柱面内部部分的面积.6.计算,其中L是以(0,0)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形的边界.7.计算曲线积分其中L为圆周的方向为逆时针方向.8.利用高斯公式计算曲面积分其中为旋转抛物面被平面所截下部分的外侧.9.求10.已知曲线积分，是绕原点一周的任意正向光滑闭曲线，试求出1

2、1.已知与路径无关，并求积分值.12.计算积分.其中，下面的那一部分的下侧.13.设求使的14.计算:,1.设有半球体：，，内任意一点的密度，求：(1)此半球体的质量；(2)此半球体的重心.解：（1）（方法1）…………2分…………5分（方法2）.（10分）（2）根据题意，有，…………2分（方法1）…………5分（方法2）因此，重心坐标为…………1分2.设具有二阶连续偏导数，试证明：其中C是D的边界，是C的外法向单位向量.证明：记为与轴正向的夹角，为曲线的逆时切方向与轴正向的夹角.则=…………4分于是…………3分…………3

3、分3.计算.解：……4分……3分……3分4.设为连续函数，，为：，求解：……5分……3分……4分……3分5.已知球面及柱面，求球面在柱面内部部分的面积.解：设S为该面积，为球面在第一卦限部分的面积，则对……4分……3分……4分=……4分6.计算,其中L是以(0,0)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形的边界.解：…………3分…………3分…………3分…………1分7.计算曲线积分其中L为圆周的方向为逆时针方向.解：…………4分…………4分故原式=…………4分…………3分8.利用高斯公式计算曲面积分其中为旋转抛物面被平面所

4、截下部分的外侧.解：…………3分…………4分…………4分…………4分9.求解：故10.已知曲线积分，是绕原点一周的任意正向光滑闭曲线，试求出解：如图，设向闭曲线，并作辅助路径. 于是其中故在不含原点的任意单连通区域内积分与路径无关，所以取11.已知与路径无关，并求积分值.解：解=由曲线积分为(取特殊路径)=12.计算积分.其中，下面的那一部分的下侧.解：设所截部分的上侧，则有记，由高斯公式13.设求使的解：即两边积分：再积分：14.计算:,其中是圆锥曲面被平面与所截部分的外侧.解：补充方向取上侧，……………………………

5、…1分设为与所围空间区域，由对称性，有…………………………………………………1分由高斯公式，可得………………3分……………………………………………4分………………………………………………………………………………2分故……………………………………………2分