多元微分与含参积分(考研试题选

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1、多元微分与含参积分1.求2.函数由方程所确定，求.3.设.证明：（1）对任意的，上一致收敛；（2）在任意区间上不一致收敛.4.若证明：一致收敛.5.设函数，其中二阶可导，具有连续的二阶偏导数，计算.6.已知函数及点，试求（1）函数在点沿方向的方向导数；（2）函数在点处沿什么方向的方向导数能取得最大值？方向导数的最大值是多少？（3）以及.7.计算8.设9.设是上径向函数，即存在一元函数使得,若求函数的表达式.10.在变力作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点，问：为何值时，力所做的功最大？4.（10分）求解：……………………3分=……………………3分=…………………

2、…2分=……………………2分5.（12分）函数由方程所确定，求.解：方程两端同时对求偏导，得……………………4分则……………………2分.……………………6分12.（15分）设.证明：（1）对任意的，上一致收敛；（2）在任意区间上不一致收敛.证明：（1）对一切，有…………4分而所以上一致收敛.…………4分（2）设…………4分使得所以在任意区间上不一致收敛.…………3分6.（10分）若证明：一致收敛.证明：……………………4分而即收敛……………………4分由Weierstrass判别法，一致收敛.……………………2分6.（10分）设函数，其中二阶可导，具有连续的二阶偏导数，计算.解

3、：………………5分………………5分10.（15分）已知函数及点，试求（1）函数在点沿方向的方向导数；（2）函数在点处沿什么方向的方向导数能取得最大值？方向导数的最大值是多少？（3）以及.解：（1）；………………5分（2）,函数在点处沿梯度方向的方向导数能取得最大值，方向导数的最大值为梯度的模，即；………………4分（3）；………………3分.………………3分7.（15分）计算解：注意到2.（10分）设证明：两边对x求偏导：解得：同理：故法2：对两边微分得：令同理：故4.（13分）设是上径向函数，即存在一元函数使得,若求函数的表达式.解：，…………………………………………2分………

4、……………………4分同理，由于从而………………………………2分解方程得：，…………………………4分因此………………1分7.（13分）在变力作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点，问：为何值时，力所做的功最大？解：令，则…………………………………………………2分…………………………………………………3分令……………………………2分解…………………………………………………2分可得：……………………………………3分即当时，所做的功最大为