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1、第五章定积分本章的教学与考试基本要求1．理解定积分的概念、性质、几何意义；2．理解积分上限函数及其性质，微积分基本定理；3．会用定积分的换元法与分部积分法求定积分；4．会求积分区间为无穷区间的广义积分；5．会用微元法求有关的面积和体积．5．1定积分的概念与性质一、主要内容回顾表５．１定积分的概念定义设在上有界，将区间任意分成段：记，在每一小区间上任取一点作乘积并作和式记，如果对的任意分法以及的任意取法，极限总有确定的值，则称函数在区间上可积,并称该极限为在区间上的定积分．记为，即．几何意义（1）当时，表示由曲线，直线以及轴围成的曲边梯形的面积．（２）
2、当时，表示相应的曲边梯形面积的负值．可积函数类(1)若在上连续,则在上可积．(2)若在上有界,且只有有限个间断点,则在上可积．(3)若在上单调有界,则在上可积．性质1定积分只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关即． 性质2(1)．(2)．线性运算(1)．(2)(为常数)．区间可加性其中为任意大小关系．有序性若在上满足，，则．估值不等式设在上有最大值和最小值，则．积分中值定理若在上连续,则至少存在一点,使．二、本节基本题型及例题题型I 用定积分的定义，求的值．解将区间分成段其中在每一个小区间取右端点作积分和式然后取极限得
3、 ．又故．题型II 估计下列各积分的值：(1)；(2)．解(1)设则故在上单调增加,其最大与最小值分别为,于是，由估值不等式得，即．(2)当时，，得故即．题型III 比较下列各对积分的大小(1)与；(2)与．解(1)当时，则．(2)令，则（）故当时即从而．三、习题选解1．利用定积分定义计算：（１）； （2）（是常数）；（３）．解（１）因为被积函数在上连续,故函数可积,将等份,每个小区间的长度为,分点将取在小区间的右端点,即；于是和式所以．（2）因为被积函数在上连续，故函数可积．将等份．每个小区间的长度为，分点将取在小区间
4、的右端点．即；于是和式所以．（３）因为被积函数在上连续,可知函数可积,将等份,每个小区间的长度为,分点将取在小区间的右端点,即；于是和式 ．所以．令，则时则上式 ．２．利用定积分的几何意义说明下列等式：（１）； （２）；（３）．解（１）由直线，轴所围成的面积为图中阴影部分，图而该部分的大小为， 故有．（２）由曲线所围成的面积为图中阴影部分，图而该部分的大小为．故有．（３）由曲线与轴所围成的面积为图中阴影部分，其中I、II两部分的大小相等，符号相反故为零．图 故有
5、．３．根据定积分的性质，说明下列每组积分哪一个的值大：（１）与； （２）与；（３）与； （４）与．解（１）令． 因为，故． 即，有． （２）令． 则．故单调上升． 又，所以．即．则有 ． （３）令． 则，故单调上升． 又，所以．即．故有 ． （４）令， 则，故单调上升， 又，所以．即．故有 ．４．估计下列各积分的值（１）； （２）；（３）．解（１）因为在上连续，所以在该区间上有最大值和最小值，且，所以有 ， 即 ． （２）因为在上连续，所以在该区间上有最大值和最小值，且，所以有 ， 即 ．（３）
6、因为在上连续，所以在该区间上有最大值和最小值，且，所以有 即 ．5.2微积分学的基本公式一、主要内容回顾表5.2微积分学的基本公式积分上限函数及其导数(原函数存在定理)(1)在上连续，则积分上限函数在上可导，且．(2)若在上连续，在上可导，且则在上可导，且．(3)若在上连续，在上可导，且．则在上可导，且．牛顿－莱布尼兹公式若在上连续，且，则．二、基本题型及例题题型I 计算题1．求下列函数的导数（1）；（2）．解（1）．（2）；；由参数方程求导法则，得．2．求由所确定的隐函数对的导数解两边对求导，，故．题型II求下列极限：（1）；（2）．解（1）方
7、法一由中值定理，其中在与之间当时，则．方法二由洛必达法则，得．（2）由洛必达法则及无穷小的替代法，得 ．题型III求下列定积分（１）； （２）．解（１）． （２）．三、习题选解１.求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）．解（１）．（２）．（３） ．（４） ．２.求由参数表达式所确定的函数对的导数．解．３.求由所决定的隐函数对的导数解上式两边同时对求导，有得．４.计算下列定积分：（1）； (2)；（3）； （4）；(5)；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；解（１）．（
8、２）．（３） ．（４）．(5).（6）.(7).（8）.（9）.(10).5.设为正整数，试证下
