定积分学习指导(1)

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1、第五章定积分学习指导一、基本内容(一)定积分的定义设在上有界，在上任意插入若干个分点，把分成个小区间，小区间的长度为()，在每个小区间上取点，，作和式。证，若当时，对区间的任意分法及每个小区间中的任意取法，均有确定的极限I，则称在上可积，极限I为在上的定积分，记为。即(二)有关定积分的重要性质和定理1．线性性：2．可加性：3．比较性：若在上，则，取得若，则。4．估值性：设和是在上的最大值和最小值，则。5．积分中值定理：若在上连续，则，使称为在的平均值。6．可变上限的定积分及其性质5设在上连续，()，则在连续、可导且，即是的一个原函数。

2、由此可得：若则。(三)定积分的计算1．牛顿-莱布尼兹公式：若是的一个原函数，则2．换元积分法：略3．分部积分法：(四)广义积分1．无穷区间上的广义积分设在内连续，取若存在，则称广义积分收敛，否则为发散，同理可定义和。2．无界函数的广义积分设在上连续，在点的某邻域内无界，取，若存在，称广义积分收敛，否则为发散。同理可定义瑕点在右端点和区间内部的广义积分。二、基本要求1．掌握定积分的定义，了解定积分概念产生的背景；2．掌握变积分限函数的性质及求导方法；3．掌握牛顿莱布尼兹公式，熟练掌握定积分换元积分法和分部积分法；4．理解定积分的有关性质

3、并注意解题与证题中的应用；5．了解广义积分的定义，并能计算一些简单的广义积分。三、重点与难点1．重点：定积分的定义、牛顿莱布尼兹公式与定积分的计算；2．难点：利用定积分的一些定义和性质来解题或证明。四、学习中应注意的几个问题51．理解定积分的几何意义：()由曲线及直线，和所围曲边梯形的面积，这是用定积分解决有关面积问题的基础；2．积分限问题。在中一般，但为讨论问题的方便，规定时，；时，；3．遇到函数绝对值的定积分，应将绝对值去掉，即分区间进行讨论；4．用换元法积分时，应牢记换元应换限；5．解题或证题中，若遇有变限定积分，可以优先考虑用

4、导数来处理；6．二个公式：若是奇函数则若是偶函数则五、典型例题例1计算解：∵∴原式例2求极限解：原式例3证明：若是奇函数，则5证：∵而∴。例4计算解：令，，时，，时，代入得：原式例5计算解：原式例6，计算解：例7是以为周期的连续函数，证明的值与无关。证：而5∴即的值与无关。例8设在上连续且，证明：(1)；(2)方程在内有且仅有一个根。证：1)2)由于在上可导，故在上连续，故由零点存在定理知，在上连续，故由零点存在定理知。在由至少有一个根，但由于。故在上单调递增，所以方程在有仅有一个根。5