定积分及其应用(2)

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1、第5章定积分及其应用在科学技术和现实生活的许多问题中,经常需要计算某些“和式的极限”.定积分就是从各种计算“和式的极限”问题抽象出来的数学概念,它与不定积分是两个不同的数学概念.但是,微积分基本定理则把这两个概念联系起来,解决了定积分的计算问题,使定积分得到了广泛的应用.本章将从两个实例出发引出定积分的概念然后讨论定积分的性质和计算方法,最后还将介绍广义积分的概念及其计算.本章的主要内容包括:定积分的概念和性质;牛顿-莱布尼兹公式;定积分的换元法与分部积分法;广义积分.5.1定积分的概念与性质教学目的和要求：理解定积分的概念；了解定积分的几何意义，会用定积分表示

2、曲边梯形的面积。重点与难点：定积分概念与性质、定积分的几何意义5.1.1两个实例1.求曲边梯形的面积曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.xy0y=f(x)ABxi-1xia=x0xn=bξixy0aby=f(x)ABx=ax=b怎样计算曲边梯形的面积呢?将区间划分为许多小区间,相应地曲边梯形就被分割成许多小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.当把

3、区间无限细分下去,使每个小区间的长度都趋向于零时,所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.28根据上面的分析,可按下面四个步骤计算曲边梯形的面积A.(1)分割在区间[a,b]中任意插入若干个分点a=x0

4、任取一点ξ,以[xi-1,xi]为底、f(ξ)为高的小矩形的面积近似替代第i个小曲边梯形的面积(i=1,2,×××,n),即(3)求和把这样得到的n个小矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即»f(ξ1)x1+f(ξ2)x2+×××+f(ξn)xn.(4)取极限显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值,因此,要求曲边梯形面积A的精确值,只需无限地增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记l=max{x1,x2,×××,xn},于是,上述增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零,相当于令l®0.所以曲边

5、梯形的面积为.结论:曲边梯形的面积为一个和式的极限.2.求变速直线运动的路程设物体作变速直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数,且v(t)³0,计算在这段时间内物体所经过的路程S.引例2与引例1情况类似,由于速度是变化的,不能按不变(匀速)的情况去处理,我们仍用上面四个步骤去解决这个问题.(1)分割用分点T1=t0

6、次为S1,S2,×××,Sn.(2)近似代替28任取,用点的速度近似代替物体在上的速度,那么物体在时间区间上经过的路程近似为,即(3)求和物体在[T1,T2]内所经过的路程.(4)取极限记l=max{t1,t2,×××,tn},当l®0时,取上述和式的极限,即得变速直线运动的路程.结论:变速直线运动的路程为一个和式的极限.上面两个例子,虽然实际意义不同,但是解决问题的数学方法是相同的,并且最后所得到的结果都归结为和式的极限.在科学技术中有许多实际问题也是归结为和式的极限.抛开实际问题的具体意义,数学上把这类和式的极限叫做定积分.5.1.2定积分的概念定义设函数f

7、(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0

8、时,上述和式的极限都存在