定积分及其应用(12)

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1、第十章定积分及其应用1定积分的概念1．已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分：(1)；(2)；(3)；(4).2．设在可积，证明在上可积，且.3．设求证.4．若函数在上可积，其积分是，今在内有限个点上改变的值使它成为另一函数，证明也在上可积，并且积分仍为.2定积分的基本性质1．设在连续，，不恒为零，证明.2．设在连续，，证明在上恒为零.3．举例说明在可积，但在不可积.4．比较下列各对定积分的大小：(1)；(2)；(3).5．证明下列不等式（设所给的积分存在）；(1)；(2)；(3)；(4).6．证明：(1)；(2).7．设在连续，证明，其中.8

2、．设在连续，且，求证：.9．设，求证.10．(1)设在上连续，且对上任一连续函数均有，证明.(2)设在上连续，且对所有那些在上满足附加条件的连续函数，有.证明：在上同样有.11．设在连续，求证：，而且等号成立当且仅当(或)，其中为常数。12．设在连续，求证：，而且等号成立当且仅当(常数).13．设在连续，，求证：.14．设是严格单调增加的连续函数，是它的反函数，证明15．用一致连续定义验证：(1)在上是一致连续的；(2)在上是一致连续的；(3)在上一致连续，但在上不一致连续；(4)在上不一致连续.3微积分基本定理1．计算下列定积分：(1)；(2)；(3

3、)；(4)；(5)；(6)；2．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；3．若连续，求：(1)；(2)；(3)；4．求下列极限：(1)；(2)；5．设在连续且单调递增，求证：函数在上连续且单调递增。4定积分的计算1．计算下列定积分(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)；(15)；(16)；(17)；(18)；(19)；(20)；2．计算下列定积分(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；3．证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有一

4、个为奇函数.4．设在所示区间上是连续函数，证明：(1)；(2)；(3)；(4)；5．计算积分.6．利用分部积分法证明：7．设在连续，且，求证：(1)；(2)；8．设在时连续，对任意，积分值与a无关，求证：（c为常数）.9．设在任一有限区间上可积分，且求证：5定积分在物理中的应用初步1．有一薄版，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力.2．修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。3．某水库的闸门是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌满时闸门所要的力。设水的比重为1

5、000.4．半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要作多少功？5．把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1的力能使弹簧伸长1cm，问把弹簧拉长10cm要作多少功？6．有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此细棒的平均密度.6定积分的近似计算1．已知，试把积分区间分成10等分，分别用梯形公式和抛物线公式计算的近似值，精确到小数点后三位.2．把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三位：(1)；(2).