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《定积分的性质(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§4定积分的性质1.证明:若与都在[]上可积,则其中、是T所属小区间任意两点,，2，…，。证因为都在上可积,由性质3推得∙在上也可积,且在上有界,即存在A>0,使可积对,使得对的任意分割T及任意选择点集{,只要<,就有.对上述,由可积存在某个分割,有在分割的基础上任意添加新分割点,使新分割只要满足.由§3习题1知:综上述结论:因为∙可积.对给定的,,及分割(包含所有分割点),只要,这时对任意选择的点集和,、，2，…，。有+<由的任意性及和的任意性,得.2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小(1)与解:因为而及及1,-=>0(见例2注)(2)与解:因为—>0,,而时,—=0.所以
2、 －＝＞０（例２．注）＞３．证明不等式：（１）证明＜＜证记，．１－＜１－＜１，1=<=当.当=0时,.当=时,.由例2.注及性质5.推得＜＜(2)1<<解记,则1,.而2>0()故1<<,.1=<<=(3)1<<记=(1,=<<1,<,即1<(4)3证设得唯一稳定点：而f在[e,4e]上最大值:，最小值且,4.设f在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于零，证明：证因为f在[a,b]是连续在[a,b]上连续，且又因为不恒等于零，即使由例2注可见5.设f,g都在[a,b]上可积，证明：在[a,b]上也都可积。证因为f,g在[a,b]上可积，根据性质2，在[a,b]上也可积，根据性质6，在[a,
3、b]上也可积，再由性质1，2推得在[a,b]上也都可积。4.试求心形线上各点极径的平均值。解:5.设f在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足>0证明：在[a,b]上也可积证因为f在[a,b]上可积存在[a,b]的某一个分割T，使依§3习题5，由于在每一个上有根据可积准则，在[a,b]上也可积。6.进一步证明积分第一中值定理（包括定理9.7和定理9.8）中的中值点证（1）定理9.7：若f在[a,b]上连续，则使设f在[a,b]上的最大值是M，最小值是m.若M=m显然(a,b)内任意一点的可作中值若M>m,不妨设因为所以由连续函数介值定理，或所以结论成立(2)定理9.8：若f与g都在[a,b
4、]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少再一点使得不失一般性，设f在[a,b]上的最大值是M，最小值是m若M=m或显然(a,b)内任意一点均可作中值点。若M>m且不妨设由连续函数的性质年，这时一定存在某使有g(x)>0当时，因为由例2注知必须有即这时显然点集内任何一点都可作介值点这时同理，当时，均可作介值点。则由定理9.8的条件推得：那么由连续介值定理，所以结论成立。9．证明：若f与g都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m分别为f(x)在[a,b]上达到上确界，下确界，则存在某实数使得证不妨设这时有若从而取公式恒成立若从而取则有及10、证明：若f在[a,b]上
5、连续，且则在内至少存在两点使又若这时f在(a,b)内至少有3个零点？证（1）因为f在(a,b)上连续，且则由习题8推得使如果f(x)在(a,b)内再没有其他零点，则由连续函数的性质，不妨设记且只有而g(x)在[a,b]上连续由此得0>矛盾所以f(x)在(a,b)
