资源描述：
《定积分的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§4定积分的性质教学目的与要求：1.理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2.逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学重点，难点：1.定积分的性质极其证明方法.2.应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学内容：一定积分的基本性质性质1若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且. （1）证当k=0时结纶显然成立.当k时,由于其中J=因此当f在[a,b]上可积时,由定义,任给 从而 即kf在［a,b］上可积，且 性质２ 若f﹑g都在［a,b］可积，则f在［a,b］上也可积，且 （2）证明与性质１类同。注1性质１与性质２是定积分
2、的线性性质，合起来即为 其中a﹑为常数。注2在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积.在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]上不可积，则另外一个在[a,b]上必不可积.性质３若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积。证 由f、g都在［a,b］上可积，从而都有界，设 Ａ＝ Ｂ且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）。任给由f、g可积，必分别存在分割、，使得 令（表示把、的所有分割点合
3、并而成的一个新的分割T）。对于[a,b]上T所属的每一个，有利用§3习题第1题，可知这就证得f·g在[a,b]上可积.注在一般情形下.思考：有没有相除后可积的性质？若f﹑g都在［a,b］上可积，
4、f(x)
5、m>0,x[a,b],则在[a,b]上可积.事实上，由条件可证在[a,b]上可积(本节习题第7题).再由性质3知在[a,b]上可积.性质4f在[a,b]上可积的充要条件是：任给，在[a,c]与[c,b]上都可积。此时又有等式（3）证[充分性]由于f在[a,c]与[c,b]上都可积，故任给分别存在对[a,c]与[c,b]的分割，使得现令它是[a,b]的一个分割,且有由此证得f在[a,b]上可
6、积.[必要性]已知f在[a,b]上可积,故任给存在对[a,b]的某分割T,使得在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割由§3习题第一题,又有分割在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为,则有这就证得f在[a,b]和[b,c]上都可积.在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对[a,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[a,c]与[c,b]上的部分各自构成对[a,c]与[c,b]的分割,分别记为.由于因此当时,对上式取极限,就得到(3)式成立.注性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性.当时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性
7、.如图9–10所示,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积之和.按定积分的定义,记号只有当a＜b时才有意义,而当a=b或a＞b时本来是没有意义的.但为了运用上的方便,对它作如下规定:规定1当a=b时，令规定2当a＞b时，令有了这个规定之后，等式（3）对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如，当a＜b＜c时，只要f在[a，c]上可积，则有=性质5设f为[a，b]上的可积函数。若则（4）证由于在[a，b]上，因此f的任一积分和都为非负。由f在[a，b]上可积，则有□推论（积分不等式性）若f与g为[a，b]上的两个可积函数，且[a，b]，则有（5）证令F[a，b]，由性
8、质2知道F在[a，b]上可积，且由性质5推得不等式（5）得证.性质6若f在[a，b]上可积，则在[a，b]上也可积，，且（6）证由于f在[a，b]上可积，故任给ε＞0，存在某分割T，使得由绝对值不等式可得知于是有从而证得在[a,b]可积。再由不等式应用性质5（推论），即证得不等式（6）成立。□注这个性质的逆命题一般不成立，例如在[0，1]上不可积（类似于狄利克雷函数）；但它在[0，1]上可积。例1求其中解对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即注1上述解法中取其中被积函数在x=0处的值已由原来的由§3习题第3题知道这一改动并不影响f在[-1，0]上的可积性和定积分的值。注2如果
9、要求直接在[-1，1]上使用牛顿一菜布尼茨公式来计算这时F（x）应取怎样的函数？读者可对照§2习题第3题来回答。例2证明：若f在[a,b]上连续，且证用反证法。倘若有某x0∈[a,b]使f则由连续函数的局部保号性，存在的某邻域，使在其中由性质4和性质5推知这与假设相矛盾。所以。□注从此例证明中看到，即使f为一非负可积函数，只要它在某一点处连续，且则必有（至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参
