定积分的概念讲义

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1、定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念①分割如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。(3)定积分的性质①②kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）③[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.（定积分的线性性质）④f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

3、性质4性质112yxo【例题精讲】例1．计算定积分分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。即：思考：若改为计算定积分呢？改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？例2．求曲线与x=1,y=0所围成的区域的面积解：①分割将区间等分为n个小区间：，，…，，…，，每个小区间的长度为②近似取代过各点做x轴的垂线，把梯形分成n个小曲边梯形，在分别用小区间左端点的纵坐标为为高，为底作小矩形，于是图中曲线i之下矩形的面积依次为：，，，…，③求和所有这些小矩形的面积之和为=+++…+===6④取极限【习题精练】1.函数在区间上，（）A.的值变化很小B.的值变化

4、很大C.的值不变化D.当n很大时，的值变化很小答案：D2.当n很大时，函数在区间上的值，可以用下列函数值近似代替的是（）A.B.C.D.答案：C3.“以直代曲”中，函数在区间上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值C.可以是该区间内任一点的函数值（）D.以上答案均正确答案：C4.设在上连续，将n等分，在每个小区间上任取，则是（）A.B.C.D.答案：B5.设在上连续，则在上的平均值为（）6A.B.C.D.答案：D1.已知和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（）A．B．C．D．答案：B2.下列定积分为1是（）A．B

5、．C．D．答案：C3.求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）A．［0，］B．［0，2］　C．［1，2］　D．［0，1］答案：B4.由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　　．答案：或。5.计算=。答案：。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。6.①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）；（2）；（3）．答案：（1）正(2)正(3)负。②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．，，。答案：≥≥。7.计算下列定积分：；；；。6答案：(1)；(2)；(3)0；(4)0。1.利

6、用定积分表示图中四个图形的面积：xOay=x2(1)xO2–1y=x2(2)yyy=(x-1)2-1Ox–12(3)xabOy=1(4)yy答案：(1)；(2)；(3)；(4)．【课下练习】1.设函数，则当时，定积分的符号（）A.一定是正的B.一定是负的C.当时是正的，当时是负的D．以上结论都不对答案：A2.下列式子中不成立的是（）A.B.C.D.答案：C3.=（）A．0B.C．D。答案：A4.由直线，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）6A．B。C．D。答案：C1.和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为。答案：。2.曲线，所围成的图形的面积可

7、用定积分表示为　　　　　．答案：3.计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+…+n2=）答案：4.求由曲线与所围的图形的面积.答案：65.计算，其中,答案：66.弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。答案：可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：。6