定积分的概念

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1、--定积分与微积分定理1．定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2----．定积分的几何意义说明：一

2、般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3（定积分的线性性质）性质4（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：----②推广:③性质解释：性质4性质12.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式定理：

3、如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，说明：①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。我们可以用的

4、原函数（即满足）的数值差来计算在----上的定积分.②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。思考并回答下列问题：①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗？如果不唯一，它们之间什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？②计算定积分的关键是什么？③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么？④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数典例分析例1．计算定积分分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。12yxo即：思考：若改为计算定积分呢？----改变了积分上、下限，被

5、积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）1.（2014·湖北高考理科·Ｔ6）若函数，满足，则称，为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③其中为区间的正交函数的组数是（）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解析】选C.对①，，则、为区间上的正交函数；对②，，则、不为区间上的正交函数；对③，，则、为区间上的正交函数.[来源:Z,xx,k.Com]所以满足条件的正交函数有2组.2.（2014·山东高考理科·Ｔ6）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）[来源:学科网ZXXK]

6、----A、B、C、2D、4[来源:学+科+网]【解题指南】本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.【解析】选D.由，得交点为，所以，故选D.[来源:Zxxk.Com]3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+ex)dx的值为　(　　)[来源:Zxxk.Com]A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解题指南】求出被积函数2x+ex的原函数,然后根据定积分的定义解之.【解析】选C.(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e-1=e.4.（2014·福建高考理科·Ｔ1

7、4）如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.【解题指南】本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利用定积分求解面积的问题。----【解析】和互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形，则．【答案】5.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于(　　)A．0B．4C．8D．16解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，即8×2＝16.答案：D6．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)A

8、.B.C.D----．不存在解析：数形结合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx==.答案：C7．计算以下定积分：(1)(2x2－)dx；(2)(＋)2dx；(3)(sinx－sin2x)dx；解：(1)(2x2－)dx＝(x3－l